66 Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 



§ 57. Mit dem Vorhergehenden haben wir nun zugleich die allgemeinste 



Verknüpfung gefunden, die den Axiomen I, II, III, VIII, IV, V, VII* 



genügt. Wir formulieren sie so: 



Man ordne jedem Vektor a einen konjugierten zu: al = a~~ l a, wo 



c eine beliebige reelle Zahl > bedeutet. Dem Vektor a — sei a' = 



konjugiert. Dann bestehe die Verknüpfung * der_ a in der Addition + der a'. 



Wird jetzt endlich noch das Axiom VI herangezogen, so folgt, daß 



i_ i_ 

 in den positiven a, , a t identisch (<v + a^'Y = a^+a, sein muß, und daraus 



ergibt sich für a x = a 2 4= 0, daß notwendig 2 f = 2, c = l ist. Hiermit ist 



dann offenbar der Satz der Vektoraddition (Satz 7') bewiesen. 



Für jeden von l verschiedenen Wert von c erhält man eine Pseudo- 



addition, die alle Axiome des Systems I, II, III. VIII, IV, V. VIF, VI 



außer VI erfüllt und die somit die Unabhängigkeit des letzteren von den 



übrigen erweist. In der Tat ist die unter J' angeführte Pseudoaddition, die 



eben dies leistet, als Spezialfall c = \ in der obigen enthalten. 



