68 Rudolf Schimmaek, 



eine totalstetige Funktion von o?, 2 ; also muß a n auch eine totalstetige Funktion 

 von |y(a 12 )| sein. Auf Grund von 4 5 ergibt sich dann umgekehrt | <jp («12) | 

 als totalstetige Funktion von a^ 1 ) und, da nach VII* das <p nicht sprungweis in 

 seinen entgegengesetzten Wert übergehen kann, auch <p(a ]2 ) selbst als total- 

 stetige Funktion von «,,. Damit ist VII bewiesen. 



An den letzteren Beweis schließen wir gleich noch eine wichtige 

 Bemerkung. Nehmen wir zu I, II, III, IV, V, VII* noch VI hinzu, so 

 folgt offenbar mit VII zugleich der Additionssatz und somit auch VIII. 

 Man kann daher sagen: 



Satz. Es gilt: 



I, II, III, IV, V, VI, VII* ^ VIII. 



§ 59. Satz. Es gilt: 



1, ii, in, iv, v, vi, vm ;> vn*. 



Zum Beweis dieses weiteren Satzes bemerken wir zunächst, daß aus 

 den ersten fünf Axiomen wieder die Sätze l t bis 4 ä (§ 28 bis 33) folgen. Seien 

 nun a t , a 2 Komponenten verschiedener Richtungslinie und a x * « 2 = «n, so ist 



9>(«i) „ ,<P(<h) „ ?>(«i>) _ 



&i Ct'2 d\ 2 



Nach VIII ist aber für ein g > auch g«! *g« 2 = g «12 , also: 

 9>(£ a i) „ ■ 9>(f«2) „ _ <P(gfl i2) „ 



d\ Öo Öj 2 



Multipliziert man die erste der Gleichungen mit <jr>(ga 2 ), die zweite mit 

 — 9>(a 2 ) und addiert, so folgt: 



(p(a 1 ) (p(§a 1 ) — g>(gai)<jp(a 2 ) „ _ <p(a n )<p(£ai)— 9>(ga t2 ) g>(a 2 ) „ 

 a, a, 2 



Da «,, « 12 nach 4 2 verschiedene Richtungslinie haben, so müssen die vor 

 ihnen stehenden Zahlenfaktoren Null sein, also: 



y(g« i) _ = y(g«2) 



9>(a,) ' g>(a 2 ) 

 Dies besagt, daß der Ausdruck ^ - von a nicht abhängt, sondern daß wir 



i) Siehe Anmerkung auf Seite 67. 



