Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 69 



schreiben können: <p(ga) = g>(a) •£>*©; y*(i) = 1. Durch Vertauschuno- von 

 a mit | gewinnt . man weiter: g>(a)(p*(g) = gp(g)<p*(ffl), also für g — i: 

 q>(a) = <p{i)q>*{a). Es wird daher 



,<g«)=> (fl) »® 



und speziell für g = a: 



<p{a*-) 



9>W 



(y(«) ) a 



9>(D ' 



Diese Gleichung sagt aus. daß g> für alle (positiven) Argumente dasselbe 

 Vorzeichen besitzt. 



Ziehen wir jetzt VI heran, so muß <p der im ersten Abschnitt be- 

 handelten Funktionalgleichung genügen. Die totalunstetigen Lösungen cp (ä) 

 derselben, deren jede die Ebene überall dicht überdeckt, erfüllen offenbar 

 nicht die eben abgeleitete Bedingung; also bleiben nur die stetigen Lösungen 

 <f (a) = Ca . Damit ist der Additionssatz und sonach VII* bewiesen. 



Satz. Es gilt: § 60. 



I, II, III, IV, vi, vii*, vin ~y v. 



Zum Beweis dieses weiteren Satzes bemerken wir zunächst, daß aus 

 I, IL III, VIII. IV wie früher (§ 48 f.) die Sätze l\ bis 4\ folgen. Der 

 Satz 5' 2 über die Funktion ip*(x) wird, trotzdem V nicht benutzt werden darf, 

 ebenfalls wie früher (§ 51) abgeleitet werden können, wenn es nur gelingt, 

 tyi(O) = tp*(i) als von Null verschieden nachzuweisen. Angenommen aber, es 

 sei v*(l) = 0, so würde aus Satz 4'j für x s = x., folgen: o = (ip*(x)y, d. h. 

 es müßte y*(x) oder also ip(co) = o sein. Dies lieferte nach 3' für gleich- 

 gerichtete Komponenten a n = a,-o = 0, und das widerspricht VI. Somit 

 ergibt sich in der Tat auch hier 5' 2 . 



Verfolgen wir weiter die Betrachtungen des § 52, so bleibt alles 

 ebenso bis auf die Stelle, wo gesagt wird, daß für drei gleichgroße Kom- 

 ponenten «,, a 2 , a 3 , die miteinander je den Winkel — bilden, a n = — a 3 



ö 



ist. Stattdessen können wir hier indes sagen, daß a n nicht mit a A gleich- 

 gerichtet sein kann, da sonst nach VI a 12 *«3=|=0 wäre. Also muß dieses 

 <*J2(=}=0) den Komponentenwinkel m l2 selbst halbieren, und somit muß nach 



