Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 71 



verschiedene Länge nach (ß\) berechenbar ist. Andererseits ist aber dieselbe 

 totale Resultante == « 2 * «13 =«2*0 = 0, was dem Vorhergehenden wider- 

 spricht. Es bleibt also in der Tat C = l als einzige Möglichkeit, und 

 damit ist V bewiesen. 



2. Frage der Unabhängigkeit und Sukzessivität der Axiome. 



Hinsichtlich der Unabhängigkeit der Axiome, die wir dem § 61. 

 *S7ocv/schen Beweisgange zugrunde gelegt haben, können wir folgende Über- 

 sicht zusammenstellen : 



I, — , III, VIII, IV, V, VII*, VI ^) II nach B 



I, II, — , VIII, IV, V, VII*, VI 3> III nach C 



I, II, III, — , IV, V, VIP, VI ^} VIII nach § 58 (!) 



I, II, III, VIII, — , V, VII*, VI 3> IV nach F 



I, II, III, VIII, IV, — , VII*, VI ;> V nach § 60 (!) 



I, II, IU, VIII, IV, V, — , VI ;> VII* nach § 59 (!) 



I, II, III, VIII, IV, V, VIP, — ^ VI nach J'. 



Hier treten die Nachteile des in Rede stehenden Axiomsystems 

 klar zutage. Die Axiome sind keineswegs alle voneinander unabhängig. 

 Eines der Axiome VIII, V, VII* ist zu entbehren, wenn man dafür die 

 Gesamtheit der übrigen Axiome zur Benutzung zuläßt. Läßt man dagegen 

 nicht immer die Gesamtheit (!) der übrigen Axiome zu, sondern schließt ins- 

 besondere die Heranziehung von VI bis zuletzt beim Beweisgang aus, so 

 ist keines der angeführten Axiome zu entbehren. Nämlich : 



(I, II, III, — , IV, V, VIP, VI ^ VIII nach § 58 

 II, II, III, — , IV, V, VII*, — ~$ VIII nach J 



1 1, II, III, VIII, IV, — , VIP, VI ^ V nach § 60 

 il, II, III, VIII, IV, — , VIP, — ^) V nach G' 



I I, II, III, VIII, IV, V, — , VI ^ VII* nach § 59 

 II, II, III, VIII, IV, V, — , — ^ VIP nach K'. 



Die Ausschließung von VI bis zuletzt ist indes gerade das Charakte- 

 ristische am Siaccischen Beweisgange. Will man dieses Charakteristische 

 aufrecht erhalten, so läßt sich also keines der Axiome des Systems ent- 

 behren, und dennoch genügen dieselben nicht der Unabhängigkeitsforderung. 



