Endolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 75 



Und zwar bleiben die Aussagen 2), 3), 4) bestehen, selbst wenn man, VIF 

 erweiternd, VII" als Axiom hinzunimmt (Schur). Dagegen wird 1) hin- 

 fällig, wenn man VII" — ja schon wenn man VIT als Axiom hinzunimmt; 

 nämlich : 



6) I, — , III, IV, VI», VII" ^ II (Schur) 



7) I, — , HI, IV, VI", VII' ;> II (Hämel). 



Zu diesen Ergebnissen sollen nun in den folgenden Paragraphen einige 

 Bemerkungen hinzugefügt werden. 



Herr Schur gibt zum Beweise für 2) an, daß die Zusammensetzung § 64. 

 der endlichen Drehungen eines starren Körpers um einen festen Punkt, 

 wenn man jede Drehung durch einen Vektor darstellt, der in die Drehachse 

 fällt und der Amplitude der in irgend einem Maßstabe gemessenen Drehung 

 gleich ist, alle Axiome außer III erfüllt. Demgegenüber behaupte ich, daß 

 eine so konstruierte Vektorverknüpfung nie die Axiome I, II, IV, VI , VIP 

 zugleich erfüllen kann, und beweise es folgendermaßen in vier Schritten. 



1. Der Zusammenhang zwischen der Länge des Vektors a und der 

 Amplitude co a der ihn darstellenden Drehung sei durch die Funktion m a = f(a) 

 ausgedrückt (I, II). Wir betrachten zunächst zwei Vektoren a, b von ver- 

 schiedener Richtungslinie und zwar sei das zu b gehörige m b = f(b) nicht 

 ein ganzes Vielfaches von 2x. Variieren wir nun unter Festhaltung der 

 Richtung des a die Länge a stetig und bestimmen nach der bekannten ele- 

 mentaren Konstruktion mittels der zugehörigen Amplituden m a = f(a), 

 m b = f{i) die Richtungslinie der Resultante a*6, so kann diese sich nur 

 dann immer stetig ändern , wie sie soll (VIP) , wenn f(ä) eine totalstetige 

 Funktion ist oder doch wenigstens nur Sprünge besitzt, deren Größen ganze 

 Vielfache von 2x sind. Daher hat f(ä) notwendig die Form: 



f{a) = f*(a) + 2xg(p), 



wo f*(a) eine totalstetige Funktion ist und g(a) nur ganzzahlige Funktions- 

 werte besitzt. 



Zu der obigen Annahme, daß es einen Vektor b gibt, dessen m b = f(b) 

 nicht ein ganzes Vielfaches von 2jt ist, waren wir berechtigt. Denn in der 

 Weise, daß jeder Vektor einer Drehung um ein ganzes Vielfaches von 2jc 



10* 



