76 Rudolf Schimmack, 



entspricht, kann keine Pseudoaddition mittels der Drehungen definiert werden. 

 Sind nämlich a, b beliebige Komponenten, so liefert diese ausgeartete 

 Drehungsvorschrift über die Bestimmung der Resultante gar nichts, da jeder 

 beliebige Vektor c gleich a * b sein kann ; und es bedarf erst noch einer 

 Festsetzung, wie die Resultante aus den Komponenten bestimmt sein soll 

 — worauf dann die Drehungsvorschrift schlechthin überflüssig ist. 



§ 65. 2. Wir betrachten jetzt zwei Vektoren a, b derselben Richtung.. Da 



ihre Resultante c = a + b (VI ) ist , so betragen die Amplituden der zu- 

 gehörigen Drehungen a> a = f(a), a> b = f(b), a> c = f(a + b). Für die Drehungen 

 um dieselbe Achse ist aber m c gleich der Summe m a + m b oder unterscheidet 

 sich von ihr um ein ganzes Vielfaches von 2jc: m c = a> a + a> b + 2ny, und 

 zwar kann die Bestimmung der ganzen Zahl y nur von a und b abhängen (II). 

 Wir gewinnen daher die Funktionalgleichung für f(a): 



f(a + b) = f{a) + f(b) + 2*7 (o, 6), 



wo die nicht näher bekannte Funktion y(a,b) nur ganzzahliger Funktions- 

 werte fähig ist. Führt man in diese Gleichung die obige Form von f(a) 

 ein und ordnet, wie es zweckmäßig ist: 



f*(a + b)—f*{a)—f*{h) = 2* (g(a) -f g(b)—g(a+b) + y{a,b)), 



so ist die linke Seite eine totalstetige Funktion von a wie von b ; da aber 

 die Klammer rechterhand nur ganzzahlige Werte besitzt, so muß sie eine 

 konstante ganze Zahl g sein; wir schreiben: 



f*(a + b)— f*(a)—f* (&) = 2ng. 



Die so gewonnene Funktionalgleichung für f*{a) hat aber nach § 16 als 

 einzige totalstetige Lösung f*(a) = Ca — 2jig, wo C eine reelle Konstante 

 bedeutet, und somit wird 



f(a) = Ca + 2jtg*{a), 



wo g* (ä) nur ganzzahliger Funktionswerte fähig ist. Der Wert C = bleibt 

 ausgeschlossen, da man anderenfalls auf die unter 1. erwähnte Ausartung 

 zurückkäme. 



