Aromatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 77 



3. Wir betrachten weiter zwei Vektoren a, b von verschiedener § 66. 



2 Jt 



Richtungslinie, deren Längen nahezu ganze Vielfache von t-~-. sind: 



I ^ | 



__ 2jtj» + (J ,_ 2jin + s 

 a — p^j , b — | C | , 



wo C die eben eingeführte Konstante, m und n natürliche Zahlen bedeuten. 

 Die Wahl der sehr kleinen positiven Zahlen 6, e behalten wir uns noch 

 vor, nur die Richtungen der beiden Vektoren mögen festbleiben. Bestimmen 

 wir jetzt mittels der zugehörigen Amplituden: 



co a = f(a) = 2n (+ m + g*(a)) + 6, 

 mb = f(b) = 2ji (+ ii + g*{bj) ± e 



die Richtungslinie der Resultante a * b, so schneidet diese offenbar die Ebene 

 üb unter einem sehr kleinen Winkel und muß, wenn wir 6 und e nach 

 Xull konvergieren lassen, in die Ebene ab hineinfallen (VII ). Wir können 

 aber, da 6 und e unabhängig voneinander sind, jene Richtungslinie in die 

 verschiedensten Lagen innerhalb der Ebene ab konvergieren lassen. Folg- 

 lich kann die Richtungslinie von a * b, wo 



ä, = lim a, b = lim b, 



6=0 8=0 



2nm j __ 2Jtn 



ist, auf keinen Fall eine bestimmte sein. Da die Resultante a*b selbst 

 indes eindeutig bestimmt sein muß (I), so bleibt nur die Möglichkeit, daß 

 sie Null ist. Wir gewinnen damit den Hülfssatz: Die Resultante zweier 

 (von Xull verschiedener) Vektoren von verschiedener Richtungslinie, deren 



Längen ganze Vielfache von r-^-, sind, ist stets Null. 



IM 



4. Wir bilden endlich für zwei Vektoren a , b der eben betrachteten 

 Art die Resultante a * (a * b). Diese ist 



einerseits andererseits 



= a * nach dem Hülfssatz = (ä * a) * b nach IV 



= ä nach VI 



= 2a * b nach VI» 



= nach dem Hülfssatz. 



Es müßte also a = sein, was der Voraussetzung zuwiderläuft. 



