Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 79 



entspricht die Verknüpfung * der entsprechenden Vektoren des Originalraums : 

 (§a * 13b * £c) * (ga * rfb * g'c) '= (g + g') a * (?; + ?/) ö * (g + ?') c. 



Die Beweise für 1) bis 4) und 6) sind in der genannten Arbeit ent- 

 halten 1 ), einen für 5) hat Herr Hamel nicht angegeben. Dieser Beweis kann 

 allerdings entbehrt werden, sobald nur die Unabhängigkeit des Axioms II 

 durch Angabe einer speziellen Pseudoaddition dargetan werden soll. Um 

 indes zu zeigen, daß die von Herrn Hamel in § 2 aufgestellte Pseudoaddition 

 die allgemeinste (!) ist , die den Axiomen I, III, IV, VI", VIP genügt , muß 

 man 5) beweisen. 



Dieser Nachweis kann folgendermaßen erbracht werden. Nach dem 

 obigen 2) entsprechen die sämtlichen Vektoren, die in einer Geraden des 

 Geradenbündels durch ß liegen, den sämtlichen (!) Vektoren, die in einer 

 bestimmten Geraden des Geradenbündels durch liegen. Und das gilt 

 für jede (!) Gerade des Bündels durch Q. Wir betrachten daher statt der 

 Vektoren ihre Richtungslinien und charakterisieren jede solche, indem wir 

 um und Q je eine Kugel legen, durch ihre Durchstoßpunkte auf der 

 betreffenden Kugeloberfiäche. Alsdann kommt alles darauf hinaus, daß wir 

 einen allgemeinen Abbildungssatz ableiten, den wir sogleich formulieren und 

 beweisen werden (§ 68 — 71). 



Ein allgemeiner Abbildungssatz. § 68. 



Wenn die Punkte p und P ziveier Kugeloberflächen Je und K so 

 aufeinander bezogen sind, dafs 



1. jedem p eindeutig ein P entspricht, 



2. verschiedenen p verschiedene P entsprechen, 



8. stetigen Änderungen von p stetige Änderungen von P entsprechen, 

 dann entspricht auch jedes (!) P einem p. 



!j Der Nachweis für 6) ruht auf der Herleitung des distributiven Gesetzes g (a * b) 

 = §a*§b, für beliebige reelle g. Herr Hamel gibt diese nur für positive g an, sie 

 ist leicht für negative g hinzuzufügen. Für beliebige a, b ist nämlich die Gleichung 

 ( — a * — b) * C = erfüllt, sobald man C = (l * b setzt. Daher ist nach Hamels Satz ^ 

 (dieser ist vor 6 zu stellen) — (a * b) = — rt * — b. Hierauf folgt dann weiter: 

 — |g|(o*6) = — (|g|a»|||&) = — |g|«*— |g|ft. 



