80 Rudolf Schimmack, 



Beim Beweis dieses Satzes werden wir uns wiederholt auf zwei 

 Hülfssätze beziehen, deren Beweise mit unserem Abbildungssatze nichts zu 

 schaffen haben' und hier als erledigt gelten mögen. Der erste von ihnen 

 lautet wie folgt. 



Hülfssatz 1. Auf einer Kugeloberfläche teilt eine beliebige ge- 

 schlossene „Linie" c 1 ) die nicht auf der Linie gelegenen Punkte in zwei Ge- 

 biete so, daß zwei Punkte desselben Gebietes sich durch eine Linie verbinden 

 lassen, die mit c keinen Punkt gemeinhat; dafs zwei Punkte verschiedener 

 Gebiete sich nur durch Linien verbinden lassen , die mit c mindestens einen 

 Punkt gemeinhaben: und da/s jeder Punkt eines Gebietes sich mit jedem 

 Punkt von c durch eine Linie verbinden läßt, die mit c keinen zweiten Punkt 

 gemeinhat. 



An unmittelbaren Folgerungen hieraus heben wir vorweg hervor: 

 Zwei Punkte verschiedener Gebiete lassen sich stets durch Linien ver- 

 binden, die mit c auch nur einen (!) Punkt gemeinhaben. Ist auf einer 

 Kugeloberfläche eine geschlossene Linie c gegeben und überdies ein nicht 

 auf c liegender Punkt p , so kann man das Gebiet, das p enthält, als das 

 Innere von c, das andere als das Äußere von c bezeichnen. Jeder Punkt 



des v „ von c läßt sich mit iedem Punkt p. auf c durch eine Linie ver- 

 Außern ■: 



binden, die außer p, ganz dem Y . von c angehört. Zwei Punkte p, und 



° Äußern ° 



pü auf c lassen sich durch eine Linie miteinander verbinden, die außer p, 



n n Innern , .. , 



und p2 ganz dem v von c angehört. 



Sind ferner zwei verschiedene Punkte pi und p ä auf c durch eine 

 Linie c* verbunden, die außer p, und p 2 ganz dem v „ von c angehört, so 

 möge c* eine „.. _ Teilungslinie" von c heißen, c* bildet nun mit den 



äuijcrc 



beiden Stücken c 1 , c 2 von c (die durch p,, p_> entstehen) je eine geschlossene 

 Linie, sodaß nach dem Hülfssatz 1 sowohl c'c* als c 2 c* eine Gebietseinteilung 

 auf der Kugelobei fläche hervorbringt. Je eines der entstehenden Gebiete 



enthält, wenn c* .. _ Teilungslinie ist. nur Punkte des Y ,. von c. 

 äußere Äußern 



!) „Linie" heiße hier und im folgenden: stetige doppelpunktslose Kurve im 

 Jordanschen Sinne. 



