Axiornatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 81 



Nämlich angenommen etwa, es seien p' und p" zwei Punkte ver- 

 schiedener Gebiete von c 1 c*. und jeder von ihnen liege im T von c oder 



J ° . Innern 



auch auf c, wobei im letzteren Falle nur die Lage auf c 2 mit Ausschluß 

 der Punkte p,, p 2 möglich ist. Jetzt lassen sich p' und p" durch eine Linie 

 verbinden, die — höchstens abgesehen von p' und p" selbst — ganz dem 

 von c angehört (Hülfssatz 1). Diese Linie p'p" kann daher, p' und p" 

 eingerechnet, weder mit c 1 noch mit c* einen Punkt gemeinhaben, und das 

 widerspricht dem, daß p' und p" Punkte verschiedener Gebiete von c 1 c* sein 

 sollten. — Entsprechend ist der Beweis für c 2 c* zu führen. 



Wir nennen fortan für eine .. D Teilungslinie c* dasjenige durch 



äußere ° J ° 



c 1 c* entstehende Gebiet, das nur Punkte des -.- „ von c enthält, das Innere 



Äußern 



von cU*; dasjenige durch c 2 c* entstehende Gebiet, das nur Punkte des Y r 



J ° Äußern 



von c enthält, das Innere von c 2 c*. — Alsdann lautet der zweite Hülfssatz: 



Hülfssatz 2. Ist auf einer Kugeloberfläche eine geschlossene Linie c 



und dazu eine .. r Teilunqslinie c* qeqeben, so lieqt jeder Punkt des -.- n 



an/sere u a a u u Aufsem 



von c entweder auf c* oder in einem der beiden Teilgebiete: dem Innern von 



Iti/yiCY')!/ 



c'c* oder dem Innern von c 2 c* deren jedes auch nur Punkte des ■.■ P von 



° Aufsem 



c enthält. — 



Der Beweis unseres vorhin formulierten Abbildungssatzes soll nun 

 in zwei Stufen gegliedert werden: den Beweis eines Vorbereitungssatzes 

 (§ 69 f.) und den eigentlichen Hauptbeweis (§ 71). 



Zur Ableitung des Vorbereitungssatzes betrachten wir auf der § 69. 

 Kugeloberfläche Je eine geschlossene Linie c, welche Je in zwei Gebiete zer- 

 legt (Hülfssatz 1). Ihr entspricht auf der Kugeloberfläche K vermöge der 

 drei Voraussetzungen über die Abbildung eine geschlossene Linie C, welche 

 ihrerseits K in zwei Gebiete zerlegt (Hülfssatz 1). Wir behaupten nun: 



Zwei Punkten p u p 2 desselben Gebietes auf Je entsprechen zwei Punkte 

 Pi, P-2 desselben Gebietes auf K; zwei Punkten p u p 2 verschiedener Gebiete 

 auf Je entsprechen zivei Punkte P,, P, verschiedener Gebiete auf K. 



Der erste Teil dieses Satzes ist leicht als richtig zu erweisen. Ver- 

 bindet man nämlich zwei Punkte p x , p 2 desselben Gebietes auf Je durch 



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