Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 85 



wir B"\ gemeinhat. Mittels dieser Linie B t B'"B 2 werden wir nun einen 

 Widerspruch hervorbringen können. 



<$) Zunächst: Auf Pj B'"B 2 liegt kein Punkt des Innern von P t B"B 2 B'B X . 



Angenommen nämlich, es gäbe einen Punkt P aufPiP'"P 2 , der dem 

 Innern von P l P"P.,P'P i angehört. Dann ist P mit P'" durch ein Stück der 

 Linie P l P'"P 1 verbunden, das mit der Linie B V B"B 2 B'B X keinen Punkt ge- 

 meinhat. Andererseits läßt sich P"' als Punkt von C mit einem Punkt 

 des Äußern von C. durch eine Linie verbinden, die außer P'" ganz dem 

 Äußern von C angehört (Hülfssatz 1). Und diese Verbindungslinie hat 

 keinen Punkt mit der Linie P l P"P. 1 I J 'P l gemein (denn P l P"P i P'P 1 gehört 

 außer P' und P" ganz dem Innern von C an, und die auf C liegenden 

 Punkte P' und P" sind von P'" verschieden). Wir erhielten also eine Ver- 

 bindungslinie von P mit einem Punkt des Äußern von C, die mit B l B"B 2 B'B l 

 keinen Punkt gemeinhat; und das widerspricht der Definition des Innern 

 von B X B"B 2 B' B x . Damit ist der zu Anfang von 6) formulierte Satz 



bewiesen. 



e) Ferner: Auf B X B'"B 2 können unmöglich sowohl Punkte des Innern 

 von P^P'AP"P l als Punkte des Innern von B 2 B"BB'B 2 liegen. 



Wenn nämlich ein Punkt 77' auf P i P'"P 2 im Innern von B i B'AB"B i 

 liegt, so muß das Stück 77' P 2 der Linie B X B'"B 2 , da P 2 nicht im Innern von 

 B X B'AB"B X liegt (ß), einen Punkt mit der Linie B X B'AB"B X gemeinhaben 

 (Hülfssatz 1). Dieser Punkt kann nicht P, sein, da B t kein Punkt von 77' P 2 

 ist, und kann nicht Punkt der Linien B i B' und B X B" sein, da diese mit 

 B i B'"B 2 nur P, gemeinhaben; er muß also ein von P' und B" verschiedener 

 Punkt von B' AB" sein. — Wenn außerdem ein Punkt 77" auf B X B'"B 2 im 

 Innern von B 2 B"BB'B 2 liegt, so muß — wie ebenso zu erschließen ist — 

 das Stück 77" P, der Linie B t B'" B 2 einen Punkt mit der Linie B 2 B"BB'B 2 

 gemeinhaben, und dieser muß ein von B' und -P' verschiedener Punkt von 

 P'BP" sein. — Wir hätten also zwei voneinander verschiedene Punkte, die 

 PiP'"P 2 mit C gemeinhat, und das ist unmöglich. Damit ist der zu Anfang 

 von t) formulierte Satz bewiesen. 



£) Da die Punkte der Linie P 2 P'AP"P 2 eine abgeschlossene Menge 

 bilden und von dem Punkte P„ der im Innern dieser Linie liegt (ß), lauter 

 von Null verschiedene Abstände haben, so gibt es ein pi >0, das kleiner 



