86 Rudolf Schimmack, 



als jeder dieser Abstände ist. Schlagen wir mit diesem q, um I\ einen 

 Kreis, so sind darin nur Punkte des Innern von P i P'AP"P. i enthalten; und 

 diese liegen entweder auf P' P, P" oder im Innern von P i P"P. 1 P'P l oder im 

 .Innern von P X P'AP"P { (ß). Ebenso läßt sich mit einem p 2 > um P 2 ein 

 Kreis schlagen, in dem nur Punkte des Innern von P i P"BP'P i enthalten 

 sind; und diese liegen entweder auf P'PiP" oder im Innern von P i P"P 2 P'P i 

 oder im Innern von P.,P"BP'P 2 (ß). 



Da nun die Linie P^P^P^ mit P'P,P" und P'P 2 P" nur P, und P> 

 gemeinhat (/), da ferner auf ihr kein Punkt des Innern von P x P"P l P'P x 

 liegt (6), und da endlich auf ihr unmöglich sowohl Punkte des Innern von 

 P 1 P'ÄP"P l als Punkte des Innern von P 2 P"J3P'P 2 liegen (t), so ist ent- 

 weder in der Umgebung von P, oder in der von P 2 kein weiterer Punkt 

 von P X P'"P 2 enthalten. Und das widerspricht der Stetigkeit der Linie. 

 Damit ist der Vorbereitungssatz bewiesen. 



& 7j # Indem wir jetzt zum eigentlichen Hauptbeweis kommen, machen wir 



die als unrichtig zu erweisende Annahme, es gäbe auf K einen Punkt P°, 

 der keinem (!) Punkt p auf h entspricht. 



a) Wir konstruieren zuerst auf h ein Viereck, dessen Seiten — wie 

 wir uns unmißverständlich ausdrücken dürfen — zwei Stücke von „Meri- 

 dianen" und zwei Stücke von .,Breitenkreis r eii" sind. Dieser geschlossenen 

 Linie c { , welche lc in zwei Gebiete zerlegt, entspricht auf K vermöge der 

 drei Voraussetzungen über die Abbildung eine geschlossene Linie C,, welche 

 ihrerseits K in zwei Gebiete zerlegt (Hülfssatz 1), und das ganze , 

 durch c, erzeugte Gebiet entspricht einem gewissen Teil 1 ) des ei , nen durch 



° * ö anderen 



C, erzeugten Gebietes (Vorbereitungssatz). 



P° liegt, da es nicht auf C\ liegt, in einem der beiden durch C, er- 

 zeugten Gebiete (Hülfssatz 2). Indem wir dieses als das Innere von C t , 

 das entsprechende Gebiet auf 1t als das Innere von c, bezeichnen, können 

 wir formulieren: Es ist ein Inneres von c, und ein Inneres von C, wohl- 

 tlt'finiert; das ganze Innere von c t entspricht einem Teil des Innern von C, ; 

 P° liegt im Innern von C { . 



J ) „Teil" immer im Sinne von „ echter oder unechter Teil 1 '. 



