92 Rudolf Schimmack, 



Was 1 2 und V betrifft , so ist 0*0 = 1 + 1 = 2-1 + 0, und für 



a 4= 0: a * = a-1 + 1 = (a + 1)>1 4= «• Ferner ist für a 4= 0, & 4= stets 

 (i * b = a-l + h-1 — (a + &)•!, also VI offenbar erfüllt. Endlich ist auch IV 

 befriedigt; denn für drei beliebige Vektoren a, b, c wird (a •* b) * c 

 = («' + b')' + & oder, da («' + &')' == «' + &' ist: (« * &) * c = a' + 6' + c', und 

 ebenso « * {b * c) = a' + b' + c'. 



§ 73. Pseudoaddition 5. .EJs sei eine Richtung S fixiert; der Winkel, 



den ein Vektor a mit S bildet, heifse g, wo 0<[g<!jr. _E& sei darauf eine 

 Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt mittels der Formel: a' = (l + e«)«. 

 Dann bestehe die Pseudoaddition * der a in der Addition + der a'. 



Hier ist erfüllt: 



I, III, IV, V, VI, VII, VIP, VIII; 



nicht erfüllt: 



II, VI"; 2, 4„ 5; 3', 4\, 5' 2 , 6\. 



Die Zuordnung der a und «' ist umkehrbar eindeutig, da das zu a' 

 gehörige g' offenbar = g ist; die Unbestimmtheit des g für a = ist be- 

 langlos, da dann auch a' = wird. Indem überdies die Addition der a' in 

 jedem Fall eindeutig ist, so ist damit die Erfüllung von I verbürgt. Die 

 Erfüllung von VI liegt ersichtlich daran, daß für gleichgerichtete Kom- 

 ponenten der Faktor l + e« derselbe ist. Für entgegengesetzt gleiche Vek- 

 toren (t, = — et, wird dagegen: 



a\ = (1 + e&) «! ; a\ = — (1 + e 71 -«') a, , 

 also: 



«',, = (e Sl — «"-&)»,, 



das ist = oder 4= 0? jenachdem g, = f jr oder 4= i^ war - Hiermit ist 

 gezeigt, daß II, VI und 2 unerfüllt sind. Umgekehrt: wenn a 12 = 0, so 



1 + e^ 1 

 folgt a' 12 = 0, a' 2 = — a't, also a 2 = — xa x , wo x = r : sobald 



1 + e 71- si 



nun g, 4= 1 ist, wird x 4= 1 sein, d. h. 4 X ist ebenfalls nicht erfüllt. Endlich 

 ist evident, daß eine Hülfsfunktion <p wie in § 31 und eine Hülfsfunktion ip 

 wie in § 48, die das g nicht enthielten, hier nicht einführbar sind ; und da- 

 mit werden die Sätze 5, 3', 4\, 5'.>, 6', hier unmöglich. 



