94 Rudolf Schimmack, 



2. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome IV, V. 



75. Pseudoaddition D. Sei ca n der Komponentenwinkel, so habe die 



Resultante a, 2 die Länge: 



a vl = |/a, 2 + a 2 s + 2 a, a 2 cos t» l2 . 



Ist 0-^a> l2 <x, so halbiere a 12 den Komponentenwinkel. Ist m l2 = x , so 

 liege a n in Richtung der größeren Komponente. Ist eine Komponente Null, 

 so liege ct, 2 in der anderen. 



Hier ist erfüllt: 



I, II, III, V, VI, VII; 



nicht erfüllt: 



IV, V*, VII". 



Sind beide Komponenten =4=0, so ist a>, 2 ein bestimmter Winkel, und 

 somit Länge und Richtung- der Resultante nach obiger Vorschrift eindeutig* 

 bestimmt. (Scheinbar versagt die Regel, falls co n = x und a, = a 2 ist; 

 danu ergibt sich indes als Länge a, 2 = und somit darf die Richtung un- 

 bestimmbar sein.) Ist dagegen eine Komponente, z. B. « 2 , gleich Null, so liefert 

 die obige Vorschrift die Länge a n = a, und als Richtung die von a u sodaß 

 a t *0 — ct, folgt. Sind endlich beide Komponenten = 0, so ist die Länge 

 der Resultante nach obiger Vorschrift = o. In allen Fällen ist also die 

 Resultante stets eindeutig bestimmt, also I und zugleich V als erfüllt nach- 

 gewiesen. Daß IV nicht erfüllt ist, erkennt man bequem an folgendem Bei- 

 spiel: ff,, ct 2 seien zwei aufeinander senkrechte Vektoren (=4=0); wir bilden: 

 ( — ct, * CTj) * ct 2 und — CT|*(ct,*ct,). Der erstere dieser Vektoren ist nach 

 dem vorhin Gesagten = * « 2 = ct 2 . Der letztere muß aber =4= ct 2 sein ; 

 denn ct, * ct, wird =4=0 und bildet mit ct, den Winkel \n, also mit — ct, 

 den Winkel |jt, sodaß — ct, * (ct, * ct 2 ) mit — o, den Winkel \jt bildet, was 

 ct 2 nicht tut. Man bemerkt, daß bei jeder Verknüpfung der Winkel zwischen 

 Resultante und einer Komponente ein spitzer ist. Man braucht daher nur 

 zwei Vektoren «. b zu wählen, die einen stumpfen Winkel miteinander bilden, 

 um zu zeigen, daß es keine Lösung ct, der Gleichung «, * a = b gibt ; also 

 ist V* unerfüllt. 



