Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 97 



ersten Formel a v2 = o und eine Bestimmung der Richtung erübrigt sich. 

 ß) Ist nur eine Komponente, etwa a 2 = 0, so bestimmt sich « l2 = «, ; ferner 

 g(a„a 2 ) = 1, g(a i ,a l ) = o, Ä^P = (einerlei wie o>, 2 gerechnet wird), 

 P A n = o, sodaß sich «, * = «■, ergibt. y) Sind die Komponenten gleich- 

 gerichtet, Co,., = 0, Ai = J. 2 , so ist P als mit A u A 2 identisch anzusehen, 

 und PA [2 wird = o, sodaß auch die Konstruktion des Orthogonalkreises 

 wegfällt; und da die Länge a n = a, + a 2 , so folgt « ]2 = «, + «... 6) Sind die 

 Komponenten entgegengesetzt gleich, co l2 = jr, so ist a i2 = | a, — a 2 |; ins- 

 besondere wird für entgegengesetzt gleiche Komponenten a 12 = 0. Abgesehen 

 davon wird aber PA n = und daher AyA v2 :Ä^A % = g{a 2 ,a{) : </(«,, a 2 ), wo 

 nun entweder allein g(a 2 ,a t ) oder allein g(a u a 2 ) verschwindet, und zwar je- 

 nachdem a { oder a 2 das Größere von beiden ist. Somit fällt A V2 mit A x oder 

 A, zusammen, jenachdem «, oder a 2 die längere Komponente ist, d.h.: 

 auch hier ist a l2 = a { + a 2 . 2. Die scheinbare Unbestimmtheit in der Regel 

 des Rechtssystems für den Fall, daß die Komponenten gleiche Länge haben, 

 a, = a 2 , erledigt sich dadurch, daß dann PA [2 = wird. Im letzteren Falle 

 wird zugleich A x Ai- 2 - A K2 A K =1:1, sodaß die Resultante in die Winkel- 

 halbierende des Komponentenwinkels eo 12 fällt, und die Länge der Resultante 

 wird dabei a n = 2 a, (1 — — J. Die in § 48 f. eingeführten Hülfsfunktionen 

 ip und ip* bestimmen sich daher als 



ip (0,2) = 2 ( 1 — 1 , ip*(x) = 2 f 1 — ■ — arccos x 



und diese Funktionen genügen offenbar nicht 4\, 5' 2 , 6\. 



Wir heben ferner hervor, daß diese Pseudoaddition sogar vollständiger 

 Stetigkeit genügt (VIP), indem die einzige vorkommende unstetige Funktion 

 g durch den davorgesetzten Faktor | a, — a 2 \ stetig gemacht wird. Zugleich 

 ist alles im Sinne des Axioms VIII homogen. Um die Nichterfüllung von 

 IV nachzuweisen, betrachten wir drei Vektoren «,, a 2 , a 3 von der Länge 1, 

 die ie miteinander den Winkel - bilden. Alsdann wird, indem wir das 

 obige benutzen : a x * « 2 = — l a 3 , {a x * a 2 ) * a 3 = — § a 3 * a 3 = f a 3 ; ent- 

 sprechend ergibt sich aber: a t * (a 2 * a 3 ) = \a u sodaß die Ausdrücke linker- 

 hand verschieden sind. 



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