98 Rudolf Schimmack, 



Was den Satz 5 angeht, so läßt sich hier allerdings eine Hülfs- 

 funktion <p wie in § 31 einführen ; wir werden aber nachweisen , daß sie 

 nicht der Funktionalgleichung des Satzes 5 genügen kann. Sei «, zunächst 

 ein beliebiger Vektor, a 2 dazu senkrecht (o> 12 = \n) und von der Länge 1, 

 so ist nach der Definition: 



sin Ä^A-, 



sin A t A 



12 



und die Bogen Ä^Ä-i, Ä\A n drücken sich auf Grund der Vorschriften dieser 

 Pseudoaddition in bestimmter Weise allein durch a x aus. Speziell für a, = l 

 wird, wie man sofort erkennt, <p{\) = l. Für a, = 2 andererseits erhält 



JC 



man: o,., = 1/3, A,l J :PAno = 1:3, P A n = — 7= und hieraus durch eine 



kleine trigonometrische Rechnung: go (2) = 1, 46 Sollte nun cp der 



Funktionalgleichung des Satzes 5 genügen, so müßte <p(2) = 2<p(l) sein, 

 was nicht der Fall ist. 



Endlich noch der Nachweis, daß V* erfüllt ist; das bedarf einer etwas 

 längeren Ausführung. — Seien a t , « 12 gegeben; wir behaupten, daß es 

 stets (mindestens) ein «, gibt, wofür «i * a, = « 12 ist. Ist zunächst a vl = 0, 

 so ist rt, = — « 2 eine Lösung; ist a-, = 0, so ist «i = « I2 eine Lösung. 

 Es bleibt daher im folgenden nur der Fall zu betrachten, daß a,_ =j= 0, 

 «i 2 =j= sind. Wir fixieren den Vektor an und die Länge des Vektors « 12 , 

 also a vl , denken uns aber die Richtung von « 12 vorderhand veränderlich. 

 Der zu bestimmende Vektor «, sei nach Länge und Richtung variabel. 

 Und zwar führen wir den Winkel <» f2 = a^a % als unabhängige Veränderliche 

 (in sogleich präzisierender Weise) ein; die Länge a, sei jederzeit gemäß der 

 Gleichung bestimmt: 



a,, 2 = (a, — a.,) 2 + 4 a, a.> 1 



(0,2 



also 



o, == a. 2 (i + \/W+c), wo b = -- 1-2(1— ^J , c = Mi) — 1. 



(o, 2 \ 2 (a n 



Hierdurch wird die noch variabel gelassene Richtung von a l2 , und somit 

 der Winkel «7«i2, eine Funktion allein von a> n . Wir behaupten nun: Wenn 

 (o, 2 geeignete Werte stetig durchläuft, so läuft «7« 12 stetig von bis x. Ist 



