Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 99 



dieser Nachweis gelungen, so wird alles geleistet sein; denn dann braucht 

 man nur dasjenige co i2 , und somit dasjenige a x zu wählen, wofür aTa n die 

 ursprünglich vorgegebene Größe hat. Um das eben Behauptete zu be- 

 weisen, unterscheiden wir zwei Fälle. 



1) a l2 >a 2 . Dann ist c^o, |l/ö 2 + c\ J> | b \ , und daher die Quadrat- 

 wurzel stets positiv zu nehmen. Läßt man nun a> 12 stetig von o bis n 

 laufen, so läuft a A stetig von a vl — a-, bis a n + a 2 . In der Anfangslage 

 e» 12 = ist A\ = A 2 und also A n = A 2 ; in der Endlage m l2 = n ist 

 A t = — A 2 l ) und also, da hier a, = a 12 + <h > a i ist, auch A l2 = A y = — A 2 . 

 Demgemäß beschreibt A l2 eine stetige Kurve von A 2 bis — A 2 , und somit 

 durchläuft a^a X2 stetig das ganze Intervall o bis x. 



2) a vl < a 2 . Dann ist o > c> — l , | |/P + c | < | & | , sodaß die Quadrat- 

 wurzel positiv und negativ genommen werden kann. Läßt man nun co [2 

 zunächst stetig abnehmend von n bis ä> laufen, wo m die offenbar vor- 

 handene Yersch windstelle des Radikanden bedeutet, und nimmt dabei die 

 Wurzel negativ, läßt dann weiter co 12 stetig zunehmend von w bis 

 -t laufen und nimmt dabei die Wurzel positiv, so läuft a, stetig von a 2 — a l2 

 bis a 2 + a v2 - In der Anfangslage m n = x ist A^ = — A 2 und also, da hier 

 a { = a 2 — a n < a 2 ist, A vl = A 2 ; in der Endlage w 12 = n ist A v = — A 2 , 

 und also, da hier a { = a t +a, 2 > a 2 ist, J., 2 = A { = — A 2 . Demgemäß be- 

 schreibt auch jetzt A i2 eine stetige Kurve von A 2 bis — A 2 , und a7a i2 

 durchläuft wieder stetig das ganze Intervall o bis n. Damit ist der ge- 

 wünschte Nachweis erbracht. 



Pseudoaddition F'. Wenn leide Komponenten von Null verschieden 

 sind, so gelte die Pseudoaddition F. Wenn eine Komponente Null ist oder 

 beide, so sei a*0 — 0*a — —a. 



Hier ist erfüllt: 



I, II, III, V* VI, VF), VII; 



nicht erfüllt: 



IV, v. 



Dies bedarf nacli der ausführlichen Betrachtung von F keiner 

 weiteren Worte. 



•) — A 2 liege dem A 2 diametral gegenüber. 



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