Axiomatisehe Untersuchungen über die Vektoraddition. 101 



Pseudoaddition Cr'". JEs sei ein Vektor 1 von der Länge l fixiert. 

 Dann sei das Gesetz der Verknüpfung: a*b = a + b + 1. 



Hier ist erfüllt: 



I, III, IV, V* VII; 



nicht erfüllt: 



II, V, VI. 



Um die Erfüllung von V* nachzuweisen, bilden wir zu beliebig 

 gegebenen a. b den Vektor a t = ö + (— a) + ( — 1); dann wird in der Tat: 

 «j * a = b + (—a) + (—1) + a + 1 = b + = b. 



3. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome VI bis Vlli. 



Pseudoaddition H. Es sei eine Zuordnung je zweier Vektoren § 79. 

 hergestellt mittels der Formel: a' = ( — l) 1 + M -«, tvo [a] die gröfste in a ent- 

 haltene ganze Zahl bedeutet. Dann bestehe die Pseudoaddition * der a in 

 der Addition + der a'. 



Hier ist erfüllt: 



I, II, III, IV, V; 



nicht erfüllt: 



VI, VII; 5. 



Die Erfüllung von I ist wie bei B damit verbürgt, daß die Zu- 

 ordnung der a und a' umkehrbar eindeutig ist. Die Erfüllung der übrigen 

 genannten Axiome ist augenscheinlich. Man erkennt auch leicht, daß — 

 wie es sein muß — alle aus I bis V abgeleiteten Sätze erfüllt sind, daß 

 insbesondere die in §31 eingeführte Hülfsfunktion cp (a) = ( — i) I + w -a ist 

 und die früher angegebenen Eigenschaften hat; die «' sind die damals so 

 bezeichneten „konjugierten" Vektoren. Die Nichterfüllung von VI und 5 

 ergibt sich leicht aus folgendem Beispiel zweier gleichgerichteter Kom- 

 ponenten: r?! = 1: oj = 2*1. In diesem Falle wird: 



a\ = 1; a'-i = — 2-1; a' n = — 1; a r2 = — 1; 

 <jp(«i) = 1; (p(a. z ) = — 2; cp (o, 2 ) = 1; 



also: 



a,, =j= a v + a 2 , cp{a n ) 4= ^(a,) + <p{a>)- 



