Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 103 



Was die Erfüllung- von VIII angeht, so folgt aus a * b = c auf Grund der 

 obigen Festsetzung sofort: aa + bb = cc; multipliziert man diese Gleichung 

 für ein beliebiges reelles x mit x\ so ergibt sich: xa-xa + xl-xb = xc-xc, 

 (xa)' + (xb)' = (xc)'; d. h. es ist: xa * xb = xc. Die Nichterfüllung von 

 VI ergibt sich am einfachsten aus dem Beispiel a y = a-, = 1. Dafür ist 

 nämlich: a' n = a\ + a\ = 2-1; a vl = 1/2 -1; also a J2 H= «i +a-i. 



Pseudoaddition K. Es sei fix) die in § 15 betrachtete totalunstetige § 81. 

 Funktion , die der Funktionalgleichung fix + x') = f{x) + /■(#') genügt und 

 durch die Vorschrift 



f( t u i) == — /"i ! A/0 = i" /''''* a ^ c übrigen (i 

 festgelegt ist. Es sei darauf eine Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt 

 mittels der Formel: 



a' = ^ a, falls a =j=0; a' = 0, falls a = 0. 



Darm bestehe die 'Pseudoaddition * der a in der Addition + der a'. 



Hier ist erfüllt: 



I, II, III, IV, V, VI; 



nicht erfüllt: 



VII. 



Betreffs der erfüllten Axiome gelten dieselben Bemerkungen wie bei 

 H; speziell ist die Hülfsfunktion <p(a) = f(a). Übrigens ist die Umkehrbar- 

 Eindeutigkeit der Zuordnung von a und a' hier eben durch die Erfüllung 

 der in § 15 besprochenen Nebenbedingung, der f(x) genügt, gewährleistet. 



Pseudoaddition K'. Es sei fix) die in § 15 betrachtete totalunstetige 

 Funktion , die der Funktionalgleichung fix + x') — fix) -+- fix') genügt und 

 durch die Vorschrift 



fi(/ { ) = — ,(/, ; fifi) = fi für alle übrigen fi 



festgelegt ist und zwar möge ,«i = e lg2 gewählt sein. Es sei darauf eine 

 Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt mittels der Formel: 



e f\ e iga) 



a' = a, falls a ■ =f= 0; a' = 0, falls a = 0. 



Dann bestehe die Pseudoaddition * der a in der Addition + der a'. 



