104 Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 

 Hier ist erfüllt: 



I, II, III, IV, V, VIII; 



nicht erfüllt: 



VI, VIP; 6\. 



Betreffs der erfüllten Axiome, zunächst abgesehen von VIII, gelten die- 

 selben Bemerkungen wie bei H; speziell ist die Hülfsfunktion <p(a) = e f <- ei ' a K 

 Die Umkehrbar -Eindeutigkeit der Zuordnung von « und a' ist — wie 

 bei K' — auf Grund der in § 15 besprochenen Nebenbedingung, der f(x) 

 genügt , gewährleistet , indem allen (!) positiven Werten a umkehrbar ein- 

 deutig alle (!) positiven Werte <p(a) entsprechen. Was die Erfüllung von 

 VIII angeht, so folgt aus a * b = c auf Grund der obigen Festsetzung sofort: 



e f( e lga) e f( e lgb) e f(. e lgc) 



a ^ 7 — b = - - c; 



a o c 



multipliziert man diese Gleichung für ein beliebiges reelles x mit e/ <'&*), so 

 ergibt sich: 



g/( e /</.ra) e f( e lgxb) e f(Hyxc) 



— •xa + — 5 xb — xc, 



xa xb xc 



oder : 



{xa)' + (xb)' = (xc)'; ä.h.xa*xb=xc. 



Um VI als unerfüllt nachzuweisen, betrachten wir am bequemsten die Ver- 

 knüpfung zweier gleichlanger Vektoren : a * a = c. Hierfür ist nach obiger 



Festsetzung-: 2 a =- -c, also: 2 e/<"^ a > = e^ e '^ c) -, wäre nun VI er- 



ö a c 



füllt, so müßte c = 2 a sein, folglich: 



und hieraus ergäbe sich: 



f(Hg2) = %2; 



dies ist aber unmöglich, denn es war festgesetzt: 



f('lg 2) = —'lg 2. 



