[J] Der Eulersche Dilogarithmus. 129 



beliebigem Grad sein kann, ja selbst P und R rationale Funktionen von x 

 als von ]/ a + ix + cx°- und selbst jede beliebige irrationale Gröfse, die sich 

 durch irgend eine Substitution rational machen läfst, sein können." 



Es ist in der Tat zu bemerken, dafs die funktionentheoretische Be- 

 deutung der elliptischen Integrale nicht nur in der Bestimmung gewisser 

 Integralgattungen, sondern vielmehr in ihrer Umkehrung zu suchen ist; denn 

 diese umgekehrten Funktionen sind ja ihrer doppelten Periodizität wegen 

 von fundamentaler Bedeutung. Über die Umkehrung des Dilogarithmus ist 

 aber gar nichts bekannt. Dazu kommen noch die physikalischen An- 

 wendungen der elliptischen Integrale, während ich nur eine einzige Arbeit 

 auffinden konnte, nämlich diejenige der Brüder J. C. und W. Kapteyn, 1 ) 

 welche physikalische Anwendungen des Dilogarithmus bringt. Leider sind 

 die Hillschen Arbeiten, ihrer sonderbaren Bezeichnungen wegen, nicht 

 ohne erhebliche Schwierigkeiten zu lesen; dazu kommt aber noch, dafs die 

 Darstellung der Hillschen Arbeiten in systematischer Beziehung eine recht 

 schwache ist, indem Hill wesentlich Funktionengattungen wie 



Al+, cos 9 ) log. r sin „ log x f^.l osi i + 2xco B( p + x>) 



J l — 2xcos<p + x* ' J l — 2xcos<p+x* J x oV y ^ ' 



und noch kompliziertere untersucht. Da diese Integrale sich sämtlich durch 

 einfache Dilogarithmen ausdrücken lassen, so kann man hier mit Recht 

 mach einer leichten Änderung) mit Gaufs 2 ) behaupten: 



„Es erscheint indessen ratsamer, eine Funktion einer Veränderlichen 

 in die Analysis einzuführen als eine Funktion zweier Veränderlichen, um 

 so mehr, als sich diese nach jener zurückführen läfst." 



Der nächste Mathematiker, der sich mir bekannt mit dem Dilogarith- 

 mus beschäftigt hat, ist Kummer; 3 ) er bemerkt noch, dafs die Funktion 

 ül(F(x)), wo F eine in x und \/a + ix + cöö* rationale Funktion bezeichnet, 

 durch einfache Dilogarithmen dargestellt werden kann. Übrigens studiert 

 Kummer hauptsächlich die komplizierteren Integrale von Hill und dazu 

 noch für n = 3, 4, 5 die durch das Integral 



*) Publications of tbe astronomical laboratovy at Groningen, Nr. 5: 1900. 



2) Comment. Götting. Bd. 2, p. 27; 1812. Werke. Bd. III, p. 146. 



') Journal für Mathematik. Bd. 21, pp. 74— 90, 193 — 225, 328 — 371; 1840. 



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