Kapitel I. 



Der Eulerscke Dilogaritlimus. 



§ 1. Definition in der ganzen Ebene. 



Bezeichnet log (1 — x) den Hauptwert des natürlichen Logarithmus 

 von 1 — x, so wird der Hauptwert dl x des Dilogarithmus 1 ) für jedes endliches 

 x durch das Integral 



- , & ± 



, lopr (1 — «) 



(1) dl x = — / dx 



-f 



definiert, indem der Integrationsweg stets endlich ist ohne den Punkt x = + 1 

 umschlingen zu dürfen. Ein solches Umschlingen des kritischen Punktes 

 x = + 1 kann ausgeschlossen werden, indem man aus der .r-Ebene die Achse 

 der positiven Zahlen von x '= 1 bis x = oo ausschneidet. 



Der so definierte Hauptwert von dl x ist demnach reell für diejenigen 

 reelle x, die die positive Einheit nicht übersteigen; für x reell und gröfser 

 als + 1 wird dl x komplex mit dem imaginären Komponenten ± ni log x, 

 je nachdem man dem Hauptwerte von log (1 — x) die imaginäre Komponente 

 ± jii zu erteilt. 



Der Hauptwert des Dilogarithmus dl x ist eine in der ganzen .r-Ebene 

 analytische Funktion ihres Arguments aufser in den beiden isolierten Punkten 

 x = + 1 und x = oo, die, wie wir soeben zeigen werden, wesentliche 

 singulare Stellen unserer Funktion sind. 



!) Wie bei den elementaren Transzendenten soll das Argument bei dl x nicht ein- 

 geklammert werden, wenn kein Mifsverständnis daraus entsteht. 



