134 Niels Nielsen, [14] 



Für j.r <1 erhält man unmittelbar aus (1), indem man die Reihe 

 für log(l — x) einführt und gliedweise integriert, die Potenzreihe 



X X°- Z 3 x i 



(2) dl x = p + - 2 + p + p + • • • , 



woraus die numerischen Werte 



(3) dl 1 = £, dlO = 0, dl(-l) = -^ 



unmittelbar entfliefsen. 



Aus (1) ergibt sich das unbestimmte Integral 



(4) dl • = - A g (l-«) fo + ^ 



woraus die beiden anderen Darstellungen 



(5) dl (l-x) = f^L? dx + 0, dl (-*) = - Aiil±^) dx + C 



hergeleitet werden können; aus (4) ergibt sich durch partielle Integration 



/log (1 — x) , ,-,,-, J\ogx , _ 



- dx = — log a; • log (1 — x) — / dx -f- 6, 

 * J l-x 



woraus wegen der ersten Integralformel (5) 



dl.r + dl(l. — x) = — log.c • log(l — x) + C. 



Um die Konstante C zu bestimmen, setzen wir x als positiv voraus, und 

 indem x dann dem Werte Null zustrebt, kann man das erste Resultat (3) 

 anwenden; es ist also 



(6) dl x + dl (1 — x) = log x log (1— x), 



woraus für x = i das andere numerische Resultat 



(7) ai(*) = ^ — iiog*a. 



Die Formel (6), die man ebenso wie (7) Euler 1 ) verdankt, drückt sicher 

 die erst bekannte Fundamentaleigenschaft des Dilogarithmus aus. 



') Institutiones calculi integialis. Bd. I. p. 110 — 113; 1768. Mem. de l'Ac. de 

 Saint- Petersbourg. Bd. 3, p. 28; 1811. 



