[lo] Der Eulersche Dilogarithmus. 135 



Da die beiden Logarithmen, die in (7) vorkommen, stets die Haupt- 

 werte bezeichnen, wenn dl x der Hauptwert des Dilogarithmus sein soll, 

 so erhält man die allgemeinere Formel 



(8) ^(1 + ,) =£ = i + ^ + £ + £■+..:, 



in welcher Weise man x auch dem Werte Null zustreben läfst. 



Aus (6) kann man auch ohne Schwierigkeit die Natur der singulären 

 Stellen x = 1 und x = oo bestimmen. Läfst man in der Tat die Variabele x 

 die Peripherie eines kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt x = in positiver 

 oder negativer Richtung durchlaufen, so mufs die Variabele y = 1 — x die 

 Peripherie eines kleinen Kreises mit dem Mittelpunkte y = + 1 in derselben 

 Richtung durchlaufen. 



Es sei nun allgemein f(x) eine sonst analytische Funktion, die in 

 x = a eine singulare Stelle hat; durch die Zeichea ^)(a)f(x) bezw. i$(a)f(x) 

 bezeichnen wir dann diejenigen Werte, welche f{x) annimmt, wenn x in 

 der positiven bezw. negativen Richtung eine kleine geschlossene Kurve um 

 x = a, die keine andere Singularität von f(x) einschliefst, einmal durchläuft. 

 Bei der oben angedeuteten Bewegung von x bleiben sowohl dl x als 

 log (1 — x) ungeändert, während 



2) (0) log* = log£ + 2jti, 3 (0) log» = logz — 2jri 



sind; setzt man demnach 1 — x anstatt x, so entrliefsen die beiden Umlaufs- 

 relationen 



(9) 3)(1) alz = älsa + 2xi • loga:, S (1) dl x = dl x — 2'sr i • log x. 



Der allgemeine Wert des Dilogarithmus, das heifst diejenige durch das Integral 



/ Log(l — x) , 



(10) Dl x --= — I — — dx, 



definierte Funktion, wo Log (1 — x) einen willkürlichen Wert des natürlichen 

 Logarithmus bezeichnet,, hat demnach eine logarithmische Singularität in 

 x = 0, welches übrigens einleuchtend ist; denn setzt man . 



Log (1 — x) = log(l — x) + 2pjti, 



wo log (1 — x) den Hauptwert bezeichnet, so hat man wegen (1) und (10) 



