136 Niels Nielsen, [16] 



(11) Dl« = dl« — 2p xi • log* + C. 



Was die singulare Stelle x = oo für dl x betrifft, so hat man wegen (9) 



(12) 35 (oo) dl * = dl « — 2 ji i . log «, 3 (oo) dl * = dl »' + 2 jr t • log as. 



Versteht man allgemein bei Dl x den Funktionen wert, den man aus dl x 

 durch Umkreisen der drei Punkte x = 0, x = 1 und x = oo erhalten kann, 

 so ergibt sich 



(13) Dia = dl« + 2jpjri • log* + 4rjt 2 , 



wo p und r willkürliche ganze Zahlen bedeuten. 



Um den Dilogarithmus vollständig zu beherrschen, haben wir noch den 

 dl x für überaus grofse Werte von | x | zu untersuchen. Zu diesem Zwecke 

 schreiben wir folgendermafsen das in (5) vorkommende unbestimmte Integral 

 für dl ( — x) : 



•log* + log (l +1) 



dl i—x) ,= - I — - 1 dx + C, 



x 



woraus 



logll +1) 



dlf— x) = -ilog**— / — ^d«+C; 



x 



-ilog«*— / 



setzt man daher r >1 voraus, so bekommt man unmittelbar die Formel 



(U) ai(— *) + ai(— I) = .— ^— iiogs», 



denn die Integrationskonstante wird durch die Annahme sc = 1 bestimmt. 

 Setzt man in die Formel (14), die man Euler 1 ) verdankt, x = e i( f-, so kommt 

 die bekannte trigonometrische Reihe 



n = OO 



(15) — < -,.- = I2~T' ~*^v^ + *; 



diese Formel ist von Euler 2 ) und von Daniel Bernoulli 3 ) bewiesen worden. 

 Aus (14) findet man noch unmittelbar 



(16) dl*+dlQ) = — ^= — ilogM— ^), 



!) Memoires de l'Acad. de Saint- Petersbourg. Bd. 3, p. 38; 1811. 



2 ) Novi Commentarii Acadeoiiae Petropolitanae. Bd. 5, p. 204; (1775) 1780. 



3 ) Comment. Acad. Petropolitanae. Bd. 17, p. 3 — 23; 1772. 



