[l'J Der Eulersche Dilogarithmus. 137 



wo man also den Wert von log ( — x) in solcher Weise bestimmen mufs, 



clafs, wenn 



x = | x | ■ e l V, — jr<(p<+jr 



gesetzt wird, immer 



(17) log(— x) = log \x\ + «'(#> + jt) 



ist, jenachdem 50 ^ angenommen wird. Für g? = 0, also x positiv reell, 

 mufs man in (17) ± xi lesen je nach der Bestimmung des Hauptwertes von 

 log x; diese Wahl ist aber für die Formel (16) ohne Belang. 

 Aus (16) findet man noch den Grenzwert 



(18) lim (ä\x + i log? (—»)) = — ^-. 



Durch die vorhergehenden Entwicklungen ist die Funktion dl x demnach 

 in der ganzen unendlichen x- Ebene bekannt. 



Da die Konstante in (14) durch den Ausdruck 2 dl ( — 1) bestimmt 

 wird, und da man in (16) wegen (8), ohne weiteres x = 1 setzen darf, so kommt 



2dll = 2dl(— 1) + ^ = _dll+y, 



und also hat man hier einen direkten Beweis der von Euler 1 ) gefundenen 

 Formel : 



1111 .7f2 



(19) p + 2-2 + ^ + P+-- = T- 



Wie Stäckel 2 ) in seiner interessanten Abhandlung bemerkt, hat 

 Euler nicht diese neue Herleitung seiner Formel gegeben; er hat über- 

 haupt die Formel (16) nicht gekannt; man vergleiche übrigens noch die in 

 § 18 erwähnte Bemerkung Eulers über ein viel allgemeineres Problem 

 dieser Natur. 



§ 2. Lineare Transformation des Arguments. 

 Aus der Integraldefinition des Dilogarithmus kann man ohne Mühe 

 das Integral 



ä ■ . C log (« + ß- 



J 7 + 6x 



1 ) Man vergleiche die Abhandlung von Stäckel in Bibliotheca Mathematica (3). Bd. 7, 

 p. 37— 60: 1907. 



2) 1. c. p. 42 (Fnfsnote). 



Nora Acta XC. ,\r. 3. 18 



