[19] Der Eulersche Dilogaritbmus. 139 



und die leicht zu verifizierende Identität 



a + ßx a + bx (a + ßx) (a + bx)' ' ~ " p " 



ergibt dann ohne Mühe wegen (1) die gesuchte Formel 



W 



J (« 



^ = — tw„ , „n ' lo S 2 (« + M + 77^ lo ? -7 • log (« + ßx) 



+ ßx)* B(a + ßx) ° v ' J ' Bß b \ß 



woraus speziell für a = b = ß = 1, a= 0, also D = 1, 



(5) f l ^%±^äx = - X -±llo gH l + x)-2 äl(-x) + C, 



ersetzt man hier den Dilogarithmus durch die letzte Integralformel § 1, (5), 

 so entfliefst eine von Leibniz 1 ) gegebene Formel 



Schon Euler 2 ) hat bemerkt, dafs die Funktion 



durch einfache Dilogarithmen ausgedrückt werden kann; er gibt aber nicht 

 diese allgemeine Formel, sondern nur gewisse Spezialfälle derselben, an. 

 Die allgemeine Formel kann unmittelbar vermöge (1) entwickelt werden; 

 man findet in der Tat 



J. (a + ßx) ( 7 



(7 + rf«) 

 Da nun 



■P _ 6_ ß 



(a + £?x) (/ + öx) ~ ~ 7 + öx a + ßx 



ist, so hat man in (6) die folgenden vier Integrale zu bestimmen: 



1. Ji = 6 .f l0S i7 ~ a ^~ ß)X) *, (7-a)ö-(ö-ß)? = -B, 

 woraus wegen (1) 



/ 1 = ,„ B (=^)i. s(; - + ,.„-d 1 («-J)i>- + « 



l ) Mathematische Schriften (herausgegeben von C. J. Gerhardt). Bd. III. p. 351. 

 -) Mem. de l'Acad. de Saint -Petersbourg. Bd. 3, p. 35; 1811. 



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