[-1] Der Eulersche Dilogarithmus. 141 



da nun wegen (8) 



o-» = Ö -^- (a — y + (ß—6)x), a — l=—l (a — y + (ß — ö)x) 



1-6 = l(a — 7 +(ß — ö)x) 

 sind, so hat man weiter 



0) P=ii« + ß* * = ^. |(7 + ^)=^=^=^ 



und somit entfliefst aus (7) die gesuchte Formel 



- fe • r4) ~ « (Ä) - ai C-?) - «* - 5 ■*• (^— ) + c ' 



oder indem man den zweiten Dilogarithmus rechter Hand durch die Identität 

 § 1, (16) transformiert 



di ( * * ^ = aiUU + dif^U -aip-iiog« ^-^ } (1 - 



1 — g 1 — £>/ \1 — 2/ \1 — pj \ — q 



Um nun endlich die Konstante C zu bestimmen, setze man p = 0, woraus 

 0= _dlg; + ilog2(^-^) — ilog2(— 2), 



und somit ergibt sich schliefslich die gesuchte Formel 



( 10) dl (JL_ • ^j = dl (JL-^j + dl (y^),— 41jp — dl ff --^_io g _(l_p) . log (1— jö, 



die man Abel 1 ) verdankt. 



Aus (10) kann man, wie wir später zu zeigen haben, viele interessante 

 Spezialfälle herleiten. 



§ 3. Allgemeine Sätze von Hill und Kummer. 



Aus der Integralformel § 2, (1) findet man ohne Mühe den folgenden 

 Satz von Hill 2 ): 



Bezeichnen F (x) und G ix) zwei willkürliche in x rationale 

 Funktionen, so hat man 



') (Euvres completes. Bd. II, p. 193. 



2) Journal für Mathematik. Bd. 3, p. 107; 1828. 



