142 Niels Nielsen, [22] 



/p = m 

 F(x) log (&(«)) dx = Ä +y^ a P dl (er, + ß p x) + C, 

 p = o 



wo 4 eine elementare Funktion bezeichnet, die nur eine end- 

 liche Zahl von Logarithmen enthalten kann, während m eine 

 endliche positive ganze Zahl bedeutet, und die Gröfsen a p , a p 

 und ß p sämtlich von x unabhängig sind. 



Dekomponiert man nämlich in gewöhnlicher Weise die rationale 

 Funktion F(x), während Zähler und Nenner in G(x) in Linearfaktoren auf- 

 gelöst werden, so hat man offenbar eine endliche Zahl von Integralen von 



der Form 



J = fix — ä)~ M log (x — b) dx, 



wo m eine endliche Zahl bedeutet, zu betrachten: ist m ^ 4- 1, so ergibt 

 sich durch partielle Integration 



1 log (x — b) 1 / dx 



~, + 



-d7 (x 



m — 1 (x — a)"'- 1 (m — 1) / (x — a)" 1 - 1 (x — b)' 



und das so erhaltene neue Integral kann durch elementare Funktionen 

 ausgedrückt werden. 



Für m = + 1 und b =)= a findet man aus § 2, (1) 



/ 



l0 ^ X ~ b Klx = Iog(a-&) log (*_«)_ dl f^-f) ■+ C- 



x — a \a — bj 



für a == b hat das Integral aber den Wert s log 2 (x — a); unser Satz ist 

 also vollkommen bewiesen. 

 Setzt man z. B. 



F( & = T^Ztf ' ö (») = l — 3* + 2x\ 



so ergibt sich 



J =j(ih- x + Yj~) (^C 1 -*) + logCl-äa-)) dx; 



dies Integral enthält also drei Dilogarithmen. 



Aus dem Hillschen Satze hat Kummer 1 ) den folgenden hergeleitet: 

 Bedeutet f{x) eine in x willkürliche rationale Funktion, 



so hat man mit denselben Bezeichnungen wie in (1) 



1) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 81; 1840. 



