[-^J Der Eulersche Dilogavitbmus. 143 



p = m 



(2) dl (f(x)) =i+V« ? dl (a p + ß P x) + C. 



>> = 



Aus der Integralformel § 1, (4) findet man in der Tat 



di im) = -f~ • log (i—m) äx + c, 



und das so erhaltene Integral kann unmittelbar nach dem Hill sehen Satze 

 behandelt werden. 



Man findet z. B. 



/ 2a;— 1 

 !-* + 



dl (1 — x + a£) = — I l _ x + ~ 2 ( lo S % + log (1 — x)) äx, 



und das Integral rechter Hand kann daher höchstens vier -gewöhnliche 

 Dilogarithmen enthalten. 



Die Sätze von Hill und Kummer können unmittelbar folgender- 

 mafsen verallgemeinert werden: 



Existiert eine solche Funktion x = <p(t), dafs sowohl <p'(i) 

 als F(<p(t)) und G(<p{t)) bezw. f(g>(t)) in t rationale Funktionen 

 sind, so können die Ausdrücke 



(3) fF(x) log (G(x)) dx, dl(T(i)) 



nach den Formeln (1) bezw. (2) entwickelt werden. 



Dies ist z. B. der Fall, wenn F(x) und G(x) bezw. f(x) in x und 

 \j a -|_ i x _(_ cx i oder auch in cos x und sin x rational sind. 



"Wendet man z. B. auf die Formel 



/l i 2x 



yi + x + x ,_ ■ l °s (i —\/i + x + «^ f fa + 



die Substitution 



z 2t— 1 



/l+äj-4-as* = l+fci; s = 1 _ fa 



an, so ergibt sich nach einer einfachen Rechnung 



dl (i/l +* + **) = / (1 _^ a • log (jzzw) dt + C ' 

 und das Integral rechter Hand liefert höchstens acht Dilogarithmen. 



