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Als letztes Beispiel wollen wir noch das Integral 



/"log (! + »») ^ = , f **£ + ** dx + , A^(l±-i) ^ 

 / 1 + x- J 1 — «x J 1 + o- 



welches häufig in den Hillschen 1 ) Arbeiten auftritt, bestimmen. Da das 

 erste Integral rechter Hand in (4) sich auch folgendermafsen schreiben läfst: 



/, = * f**£±& äx = i f W 1 -^ äx + * f **£ + ** äx, 

 J 1 IX J 1 — IX J 1 — IX 



so hat man wegen § 2, (2) 



(5) Ji = \ log? ( l-U-) + | log 2 • log (1— .X) - i dl (- 1 = lX 



da nun das letzte Integral rechter Hand in (4) aus (5) gebildet werden kann, 

 wenn man nur — i anstatt i einführt, so entfliefst die gesuchte Formel 





= 1 arctg x • log (4 + 4x») - | (dl (— ^J - dl ^ 



denn man hat offenbar 



log2 (l — i X ) — log' (1 + ix) = log (1 + x?) ■ log )^^- , 



und aufserdem ist 



i , 1 — /.r 

 (7) arctg x = - log - R — . 



§ 4. Herleitung einiger zyklometrischer Integrale. 



Dem allgemeinen Hillschen Satze zufolge wäre es ohne Sinn die- 

 jenigen Integrale elementarer Funktionen aufzusuchen, die sich in geschlossener 

 Form durch Dilogarithmen ausdrücken lassen. Wir beschränken uns daher 

 auf die Herleitung einiger dieser Integrale, die besonderes Interesse darbieten. 



1. Setzt man lasl^l voraus, so hat man die Potenzreihe 



X 



/arctg x x x 3 x s x~ 



~x~ dX = = F* ~~ 3^ + 5^ "" V- + 



(1) 



~'o 

 woraus unmittelbar 



x 



(2) C*x^x äx .^i_ (( 



x 2 



i) Man vergleiche z. B. Journal für Math. Bd. 3, p. 131—140; 1828. 



