[25] Der Eulersche Dilogarithmus. 145 



und demnach erhält man durch partielle Integration die neue Formel 



(3) ^ dx '— arctg x • log x + - (dl ( — ix) — dl (ix)). 



/ log x 



Man kann indessen in ganz anderer Weise das Integral (1) durch 

 Dilogarithmen ausdrücken; zu diesem Zwecke gehen wir von der Formel 

 § 3, (7) aus und setzen 



(4) T^c = y i arctga: = | log2/ ' 



woraus 



(l+jr)»' d 9 " (l + y)«t' (1+2/) 



dadurch ergibt sich 



oder nach partieller Integration 



.^ 



/arctg a; , 

 - da; 



= 1 log y • log Lj-J + 1 (dly _ dl (_„)) - ^; 



denn für x = erhält man offenbar y = 1. 

 2. Aus der Identität 



1 =ifi+ L 



_p (w — p) n \p n — pj 



ergibt sich die für x <^\ aber x =$= ± i giltige Potenzreihenentwicklung 



1 '^P(— l)»- 1 ^ 8 All, 1 \ 



(7) j «dg»* == V ^ -^- - • ( T + - + - + ... + ^—Jj; 



v ' Ix 2 X J X n 



durch partielle Integration findet man aber 



>./ 



x (1 + a; 2 ) 



woraus wegen (7) 



ro 1 / Wg»« , , arctg» a; '^f(-l)«xS'+ 1 /l 1 1 1 



(9) §7 ~^-^ + -2^- = 2--2 8 -+ — -U + 3 + 5 + --- + 2T+1 



Xova Acta XC. Nr. 0. • 1° 



