146 Niels Nielsen, [26] 



Wendet man aber die Transformationsformeln (4) und (5) an, so hat 

 man auch 



f*^* dx + H*Ü£ =* .; /"-^ • (i + y) fr 

 J x 1 x 2 J y(l—y) 



woraus durch Anwendung der Dekomposition 



1+2/ 1 + 2 



y iX—y) y l —y 

 und nach partieller Integration die andere Entwicklung 



x 



(10) r?«£* dx + *^ = _£log^ + nog^ .lo g (l-y)+iäl,-^. 

 3. Weiter findet man durch partielle Integration 



//"log (1 _j_ x 2\ 

 arctg 2 a- äx = x arctg 2 a- — arctga; log (1 + x 7 ) + / — — — - — dx, 



woraus wegen § 3, (6) diese andere Integralformel 



x 



C „ , 1 \-\-x" 1 i(,-l\—ix\ ,,/l + *a;\\ 



(11) / arctg*a:d.r = a; arctga — - arctga; -log — -I dl ^ — 2~~)~ äl [~2 — ))' 



Nun hat man aber vermöge (7) 



/ S ^°f 1)S a;2.s + l /l 1 1 1 \ 



arctg'a; dx - x ■rotg'x = 2 . ^ - ^ +1 ' (j + 3 + 5 +• •• + j^jj ! 



weiter ergibt sich aus der für \x\<,l, sondern x =)= + 1 , gültigen Formel 



s V^r s /l 1 1 1 



(13) tl0B » ( i_ a)== 2£.( + + +...+ 



3 = 2 x 



die andere Potenzreihe 



\i C IV— 1 r 25 + 1 /l 1 1 1 \ 



woraus wegen (11) und (12) diese neue Potenzreihe 



1111 1 \ 



2 + 3 4 + " " 2sj' 



die für |sc|<jl, sondern x =j= ± i anwendbar ist, hergeleitet werden kann. 



