\ß ( J Der Eulersche Dilogarithmus. 147 



Auch für die Arksinusfunktion gelten ähnliche Formeln; doch hat 

 der Fall 3. hier keinen entsprechenden; denn es ist 



J arcsin 2 x dx = x aresin 2 x -f- 2 j/l — x 1 • aresin x — 2x. 



4. Für | x j <^ 1 hat man die Entwicklung 

 (16) , ; ^°1.3.5...(2s-l) *»«+! 



/« = oo 

 arcsin x , a: , "V^ !• 



-^ ^ = r2 +2- - 

 s= 1 



2- 4. 6. ..2s (2s + l)2 : 



o 



um das Integral linker Hand zu hestimmen, hahen wir die Transformation 

 (17) ix + 1/1 — x- = */, arcsin x = — «log«/ 



anzuwenden; dadurch ergibt sich 



(18) x=t=± ä_x_l ± y 1 , _l ±1 



X " 2yi ' dy ~~ 2ißi' V X " 2y 



woraus 



2 







nnn hat man aber 



/arcsin x . f 1 + iß „ 



+■ ^ = i + 



i/ (1 — 2/ 2 ) # 1—2/ 1 + «/' 

 und somit erhält man ohne Mühe 



X 



i 1 ^ dx = 1 log! y _ ,■ log«/ • 10g (l-</ 2 ) - i (dl «/- dl (-«/)) + ^ 



denn der Annahme a; = entspricht offenbar y — 1. 

 Durch partielle Integration findet man weiter 



(20) 



/arcsin a; , . /* log x , 



- dx = log x • arcsin x — / — r _ da;, 

 y i/i-x 2 



und das Integral rechter Hand in dieser Formel kann demnach wegen (19) 

 durch Dilogarithmen ausgedrückt werden. 



5. Durch partielle Integration ergibt sich endlich 



/arcsin - x , arcsin 2 x _ /* arcsin x . 



— da; + - = 2 / - — = = da;, 



# 2 z y »1/1— a; 1 



19* 



