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während die Potenzreibe für aresin 2 x ohne weiteres die für |a?|^l an- 

 wendbare Entwicklung 



f aresin x x '^° 2 -4-6 ...(2s) x*°+> 



/ WI=^ " 1 + ^3-5-7... (2s +1)* 2s + 1 



liefert. Wendet man nun die Formeln (17) und (18) an, so findet man 

 ohne Mühe wegen (21) diese andere Integralformel 



/*arcsin 2 x , aresin 2 x „. , , 1 — y „.>.,, ,, , , N , # 2 «' 



(23) / — dx-\ = —2« \ fsylog T - n f — 2t(il}f — il(—!f)) + - 



i + y " y u v '" ' 2 



Eine Vergleichung der beiden Formeln (6) und (23) ist der Mühe 

 wert; setzt man in der Tat 



so kommt 



x = i Jf + l /i_y. ) * = Yqp£, » = -r^-' 



/arete; # , / aresin « 



- dz = — / — 7= <ty, 

 i 2/1/1-2/ 2 



2 

 "o 



woraus die Bürmannsche Reihe 



'241 s 'y° (— l)'^ 8 ^ 1 2x 'yP 2.4- 6 ...(2s) 1 / Ix \ 2 '+ 1 



"^o (2s + 1 ) 2 = 1 +^ Ä 3 • 5 • 7 • • ■ (2s + lj " 2s + 1 \l +x*) ' 



die man W. Kapteyn 1 ) verdankt; die Reihe rechter Hand ist in demjenigen 

 Bereiche konvergent, für welchen | 2x\ <[ 1 1 +x*\ ist. 



Die beiden Formeln (10) und (19) liefern ähnliche Resultate, wenn 

 man in die erste z 1 statt y einführt und die leicht zu verifizierende Identität 



dl ^ + dl(— z) = idl(^) 

 anwendet; setzt man demnach 



x 1 = , x = iz + 1/ 1 —z 1 , 



so kommt 



.V 



/aresin z , / 



arctg «/ 



o *^o 



•) Nieuw Archief (2). Bd. 3, p. 225—229; 1897. Die Formel (24) ist im Jahrbuch 

 über die Portschritte der Mathematik (Bd. 28, p. 356) falsch zitiert. 



