[29] Der Eulersche Dilogarithmus. 149 



und also findet man diese andere Bür mann sehe Reihe 



C251 — + ^r !- 3 - 5 --- (2s— 1) a; 2 ^ 1 ' ^° (— l)-'- 1 

 1 2+ ^ 2- 4- 6... (2s) '(2s + 1)2 ^ 2s + 1 



111 1 



T + ö+r +••• + 



v l 3 ' 5 : ' 2s— 1/ Vi/r+^ 

 die für ar j <; j 1 + x* | und ix =4= + ]/i + x* anwendbar ist. 



§ 5. Herleitung einiger trigonometrischer Integrale. 



Als weitere Beispiele zum Hillschen Satze wollen wir noch einige 

 trigonometrische Integrale durch Dilogarithmen ausdrücken: 



1. Durch partielle Integration findet man 



(1) J w cot <p dw = w log sin w — J log sin w dw . 



2. Weiter hat man in ähnlicher Weise 



(2) 



/ siiT<p d(p = 9 l0g tg I ~ " / l0g tg 2 d<p - 



3. Durch partielle Integration und Anwendung der Formel (1) findet 

 man ebenfalls 



(3) / — — — dw = — cp' 2 - cot w + 2 w log sin cp — 2 / log sin w dw. 



J Sln > J 



4. Endlich ergibt sich aus §4, (21), wenn man x = $imw einsetzt, 



I sin l w Bin cp I sin w 



und somit erhält man vermöge (2) 



« fW " — Ä + " ". *. ? - '/^ * S ^ 



Um nun diese vier Integrale durch Dilogarithmen ausdrücken zu 

 können, hat man offenbar nur eins der beiden Integrale 



(5) J log cos m dw, ,/log sin w dw, 



die ja durch die Transformation w = - — y ineinander übergehen , zu be- 

 stimmen. 



