150 Niels Nielsen, [30] 



5. Das erste der beiden Integrale (5) kann wegen § 3, (6) hergeleitet 

 werden; setzt man in der Tat in diese Formel x = tg<p, so entfliefst ohne 

 weiteres das folgende Resultat: 



% 



flog oos<pd<p = -f log (J-) + - A U (|— ^-) - dl / 



j log cospdcp = -f log (^ + \ (i 



2 cosgp/ \2 cos (pl 



eliminiert man nun unter Zuhilfenahme der Formel § 1, (6) einen der beiden 

 in (6) vorkommenden Dilogarithmen, so erhält man 



<p 



log cos <p d <p = — ^ log (- - + - (— 2 dl — log-— --log — 



2 \cos<jp/ 4\6 \2 cos (pl 2 cos rp 2 cos rpj 



o 



oder nach einer einfachen Reduktion 



f 

 (6a) j log cos <p f Z<? = rp log cos 9 + \ !* _ j,^ _ 2 dl (-^-) - log i [/^ 



da nun das Integral linker Hand für rp = \n endlich bleibt, so erhält man 

 wegen § 1, (16) 



<p 

 (7) / log cos <p d<p = — | log 2 + l - dl y^j~) — \ [9 — f J + (g> — f J log cos <p, 



woraus für rp = in die von Euler 1 ) herrührende Integralformel 



71 



J log cos cp 



(8) J log cos rp drp = — log 2 



entfliefst. 



Denkt man sich den reellen Winkel rp zwischen — in und 4- in 

 gelegen, so ist das Integral linker Hand in (7) reell; setzt man noch 

 ln<Lrp<^in voraus, so ist <^ 2 cos <p <, 1 und die Potenzreihe des Dilo- 

 garithmus anwendbar; durch Trennung des Reellen und des Imaginären 

 erhält man dadurch die beiden Formeln 

 f> 



, , n . _ . / 01 \ . 1 'V 1 (2 cos rp)" sinnrp 

 logcosrpdrp — — - • log2 + Up— --) log cos 50 + - • ^ 5_ _^_ ^ 



)n = CO 

 V< (2 cos <jd)" cos nrp In 



!) Novi Commentarii Academiae Pelropolitanae. Bd. 14, p. 167; (1769) 1770. 



