[öl] Der Eulersche Dilogarithmus. 151 



denn die beiden Seiten in (10) sind in tp kontinuierliche Funktionen, die 

 ungeändert bleiben, wenn man je — <p anstatt <p einführt. 



Setzt man andererseits \<p\<L\n voraus, so erhält man aus (6) und 

 (6a) die ähnlichen Entwicklungen: 



v 



/iia /i j <P , ( 2 \ 1 "V sin «od , , je 



(11) / log cos w dw = — £ log — - H • 7, — , \w < — 



J ° * w 2 s ^cos <pj 2 ^{ rfl (2 cos (pf ' ' ^ ' = 3 



n = OO 



(1 „ |_ 2( ,, + l0g , (ä00s , )) = 2_^__, |„ ä | 



Setzt man endlich in (6 a) und (7) - — cp anstatt <p, und subtrahiert 



man die beiden so erhaltenen Gleichungen von (8), so erhält man 

 <p 



(13) / logsingpdgD = — ~ log 2 — (| — |J log (2 sin <p) 







+ i(f 2 -*<P + <P* + logM2sin f/ ,) + 2 dl (^) 



/«' „ i ,, /2 sin m\ 

 log sin 9> cZgo = - <f% — - dl ( _ i( \ + r/> log sin <p. 

 1 



In diesem Zusammenhang wollen wir zwei numerische Reihen ent- 

 wickeln; die erste kann aus (12) erhalten werden, wenn man in diese Formel 

 (p = ijr einführt; dadurch findet man 



5 lllllll 



{■\K.\ Tri Alnp-29 = : 1 1 1 



K ioj ^ji ä iu S 12 _ 2 32.22 42.22 5 2 -23 72-2* 8 2 -2 4 92.25 '" ' 



die andere Reihe entfliefst, wenn man in (11) und (13) <p = \x einführt; 

 da die Summe der beiden so erhaltenen Integrale dasjenige in (8) vor- 

 kommende Integral ergeben mufs, so findet man nach einigen Reduktionen 



je 9 __ ! 1 1 1 1 1 



- log 2 = = 1 + 32 _ 2 - 52.22 ~~ 72.2s + 92.2-1 + 112.25 



Wir erwähnen noch im Vorübergehen, dafs die gewöhnliche loga- 

 rithmische Reihe für unser Integral diese andere Entwicklung 



/, „ , V^ ( — l) n ^ 1 sin2wffi n . . X 



log cos (pä<p + cp log 2 = i- 2d n* -'— 2^ 9) = + 2 



liefert. 



