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Endlich bemerken wir, dafs die Funktion 



/ 



% 

 log cos (p d<p 



in der nicht-Euklidischen Geometrie eine interessante Rolle spielt; 

 diese Funktion tritt in der Tat schon bei Lobatscheffskij 1 ) auf. Unter 

 den neueren Autoren, bei denen unsere Funktion ebenfalls in dieser Beziehung 

 vorkommt, erwähnen wir Gr. Sforza. 2 ) 



Es liegt auf der Hand, dafs diejenigen Fundamentalgleichungen, welche 

 Lobatscheffskij für unsere Funktion durch seine nicht- Euklidische 

 geometrische Betrachtungen direkt herleitet, mit Spezialfällen des allgemeinen 

 Kummer sehen Satzes zusammenfallen müssen. 



§ 6. Transformationen der Abelschen Formel. 



Um auch einfache Beispiele zum allgemeinen Kummer sehen Satze 

 zu erhalten, wollen wir die Abel sehe Formel § 2, (10): 



(d dl (t=t^ ■ rz P ) ~- = dl (r=^) + dl ( v lJ-^p-ii2-iog(i- J5 ) iog(i-«ö 



in verschiedener Weise transformieren und dann die zwei vorkommenden 

 Variabein spezialisieren. 



Setzt man 



p q _ x — xy y — xy 



1 — q 1 — p 1 — xy 1 — xy 



so ergibt sich unmittelbar 



(2) dl (xy) = dl x + dl y - dl ( p=^) - dl (% ~- J \ - log i=*- . log ] 



1 — xy) \1 — xy) 1 — xy ° 1 — xy' 



nun ist aber wegen § 1, (6) 



dl rx-xy\ = _ ai / 1 -x \ rf _ lo 1 -x . x~xy 



\l—xy) \l — xy) 6 1— xy 1 — xy 



f) Imaginäre Geometrie und Anwendung der imaginären Geometrie auf einige Integrale, 

 pp. 53— 55, 82—92, 96—115, 122—130, 166—170, 174, 184—186. Deutsch von H. Lieb- 

 mann; Leipzig 1904. 



2 ) Atti della Societä dei Naturalisti e Matematici di Modena (4). Bd. 9, 1906. 



