[°3J Der Enlersche Dilogarithmus. 153 



woraus, indem man den Dilogarithmus rechter Hand durch § 1, (16) umformt 

 „ ( x—xy\ (l—xy\ ^ 1 (\ — X y\ . l—x . x — xy 



transformiert man endlich wieder durch § 1, (6) den Dilogarithmus rechter 

 Hand in dieser letzten Formel, so ergibt sich wegen (2) die neue Formel 



(3) dl (xy) = dl x + dl y + dl (~^) + dl (?=?) + " l0g 2 (t=f ) ' 



die man Hill 1 ) verdankt; er hat dieselbe durch Differentiation verifiziert. 

 Setzt man demnach in (3) 1 : y anstatt y, so erhält man die Formel 

 von Kummer') 



y— xy 



(4) dl (*) = dl x + dl (-) + dl (*-M) + dl f^_A + i ]og2 



woraus man, indem man anstatt £ und y die folgenden Ausdrücke 



—x(l—y) —y(l — x) 

 l—x ' 1—2/ 



einführt, diese andere Formel 



C 5) dl (*?-'!§ = dl (*=&) + dl (1=1-) + dl (*=*») + dl ß=ü) + i log«y 



W(i— aov v»— 1/ W-W \y—xy) \i—x)^ *> J 



herleiten kann. 



Setzt man endlich in (1) g = ?/, p = 1 — cc und transformiert man 

 wegen § 1, (6) den Dilogarithmus dl (1 — x), so entfliefst die von Schaeffer 3 ) 

 gegebene Relation: 



W « (^) -«.-«» + «■ © + n (fef) - £ + *. • >« fef • 



Aus diesen allgemeinen Formeln kann man natürlich eine grofse 

 Zahl speziellerer herleiten. 



Aus (3) findet man für y = x die offenbare Identität 

 (7) dl (x'-) = 2 dl x + 2 dl (— #). 



Die erste der beiden Eulerschen 4 ) Formeln 



!) Specimen exercitii analytici etc. p. 9; Lund 1830. 



2) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 86; 1840. 



3) Journal für Mathematik. Bd. 30, p. 288; 1846. 



*) Mem. de l'Academie de Saint -Petersbourg. Bd. 3. pp. 37, 40; 1811. 



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