[°0] Der Eulersche Dilogarithmus. 155 



(15) dl x — dl i^-~) = y + Uog2 x — log x • log (1 — x), 

 und somit ergibt sich, indem man 1 : (1 — x) anstatt x einführt: 



(16) dl x — dl ( y^) = — ^ — log (— x) log (1 — x) + i log 2 (1 — x ). 

 Setzt man endlich in (5) y = — 1, so entfliefst die Formel 



W dl f-=±!Ü = 2 dl ( » ^ + 2 dl ' ^ 



(l— *)7 \l— ay \# — 1/ 2 ' 



während eine Kombination von (14) mit (7) die Relation 



(18) dl (— x) = dl tz-i) + i dl (afi) + i log > (1 — «) 



liefert. 



Mit Schaeffer 1 ) setzen wir in (6) y = 1 — x-\-x 2 , y = x — x 1 , y = h, 

 y = i x und erhalten somit die vier speziellen Formeln 



(19) dl« — dl (1 — « + « 2 ) + Al( 1 ~ X + x2 ) + dl (- 



(20) dl x — dl (x — x*-) + dl (1 — x) + dl ' 



_ al (l±^) 





jr 2 

 = y + log 2 * 



/i_ aaj+a .\ 







"V 1— « + «' 2 J 







log * • log 





1 — X 



1- 



— x -|-* 2 



1 — *+*' 



(21) dlz + dlf^-) + dl(2 — 2*) — dlf 1 -^) = ^ — ilog* — log« • log (2 — 2«) 



(22) dl« - &l(?)-dl(l^\ + äl( 2 -f^) =-£-i log* 2 - log* • log 2 " 



^2/ \2 — */ V 2 — #/ 12 ■ " ° ° ö 2— « 



Hiermit brechen wir unsere Darstellung dieser Spezialisierangen ab. 



§ 7. Integrale mit dem Dilogarithmus. 



Über Integrale, die den Dilogarithmus enthalten, habe ich in der 

 vorhandenen Literatur gar nichts finden können, und mir selbst ist es nur 

 gelungen, die folgenden Formeln dieser Art zu finden. 



Setzt man a =j= — 1 voraus, so erhält man durch partielle Integration: 



/js+i 1 r 



x a dl« dx = - — dl* 4- - — r • / x a log(l— x) dr, 

 «+1 «+ 1 J 



i) Journal für Mathematik Bd. 30, p. 289—295; 1846. 



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