156 Niels Nielsen, [36] 



woraus durch nochmalige partielle Integration und nach einer einfachen 

 Umformung 



/x a + 1 x a+1 1 1 /"l a: ß+1 



x " dl x dx = 7+1 dl x + 17+w log(1 ~ x) ~ v+w J ~i=^r dx - 



Das aus (1) zwischen den Grenzen x = und x = 1 erhaltene be- 

 stimmte Integral kann demnach durch die Gauss 'sehe Funktion 



W(x) = B x logr(.r) == — C+ V '- 



^ Vs+l z+s/' 



wo C die Eulersche Konstante bedeutet, ausgedrückt werden; man findet 

 in der Tat, indem man noch a = x — 1 setzt : 



i 



UU = h~l^ i¥(x+1) + C) > 



wo man also 9i (x) > — 1 voraussetzen mufs. 



Ist in (1) « der ganzen nicht negativen Zahl n gleich, so erhält man 



(3) 



/x" + 1 x n+1 1 1 



x n dl x dx = — — d\x+ -. — — — -log(l — x) — -. — — — 

 n+ 1 (n+ l) 1 (n+ 1) 2 



woraus das bestimmte Integral 



i 

 (4) 



T + T + - ■• + i+i/> 



/^ , 3t2 1/111 1 



X " älxdx = 6ÖT+T) ~ ÖTFI? '(1 + 2 + 3 + • • • + Ä + 

 u 



hergeleitet werden kann ; ist andererseits a = — n, wo das ganze n gröfser 

 als 1 angenommen werden mufs, so hat man 



(5) y ^ dx = i=s dhr + cü^p log (1-a0 



1 /x 2 -' , x 3 ~ n , a;- 1 



+ - — s + • ■ • + -. log x . 



(w— 1)2 V v w — 2 ' n — S ' ' 1 



Wünscht man das letzte Integral zwischen den Grenzen x = 1 und 

 a; = oo zu erhalten, so hat man den Grenzwert 



Hm logg-iogq-g) = _ Um log U - V 



x = oo (n — l) 2 I = o (M-l) 2 («—1)2' 



