[örf] Der Eulersche Dilogarithmus. 157 



woraus die gesuchte Formel 



unmittelbar hergeleitet werden kann. 



Aus (2) findet man einem bekannten Gauss 'sehen Satze 1 ) zufolge: 

 Bedeutet « eine rationale Zahl gröfser als — 2 und von 



— 1 verschieden, so kann das bestimmte Integral 



i 



(7) / x a dl x clx 



in geschlossener Form durch ji og Logarithmen dargestellt 

 werden. 



Für a = — 1 hat man aber 



i 



/ 



dl# , 1111 







und die Natur dieses Zahlenwertes ist noch ganz unbekannt. 



Aus der elementaren Integralformel (4) kann man eine allgemeinere 

 herleiten; setzt man in der Tat die Potenzreihe 



f(x) = a + «, x + « 2 x + a 3 x* + . . . 

 für x < q konvergent voraus, so hat man 



n=0O B+1 



jf{tx) Uli <» = ~ • / /•(<) «— ^ • ] 



(«+ 1)2 ^1 ' 2 ' w+ 1 







wo man also ebenfalls I a; [ < q annehmen mufs. 



Setzt man z. B. in (9) a„ = n + l, so entfliefst die speziellere Formel : 



i 

 C Alt ls Jt 2 ä\x log 2 (l — x) 



(10) / TT— 7^ dt = 



txf- 6(1— x) x 2x 



" o 



wo man demnach x <Ll sondern x =f= 1 annehmen mufs ; für x = — 1 

 ergibt sich 



dl) y^ *=**«.,, 



') Comment. Götting. Bd. 2, p. 33 — 34; 1812. Werke. Bd. III, p. 155—157. 



