162 Niels Nielsen, [42] 



an, während Bresse 1 ) kurz nachher 



(3) G = 0,91596 55941 77219 01505 46035 7 



gefunden hat; dieser Wert ist übrigens von Catalan' 2 ) unrichtig zitiert 

 worden, indem er die drei ersten Ziffern (015) der vierten Kolonne ver- 

 gessen hat. Es erscheint mir angemessen, die Zahl G als die Catalan sehe 

 Konstante oder auch als die Konstante des Dilogarithmus zu bezeichnen. 

 Es ist bisher nicht gelungen, die Zahl G in geschlossener Form 

 durch andere bekannte Zahlenwerte, wie z. B. je und log 2 auszudrücken. 

 Wenn aber Catalan 3 ) eine Darstellung von der Form 



G = an + b log 2, 



wo a und b rationale Zahlen bezeichnen, gesucht hat, so erscheint es 

 mir doch, dafs eben die von Catalan entwickelten Integralformeln zur 

 Aufsuchung einer Relation von der Form 



G = a jt" 1 + b je log 2 + c log2 2 



anregen müfsten; auch über eine solche Relation ist aber, so viel ich weifs, 

 noch nichts bekannt. 



Wir haben hier zu zeigen, dafs unsere in § 4 entwickelten Formeln 

 unmittelbar zu den wichtigsten von Catalan 4 ) gegebenen Integralausdrücke 

 für die Konstante G führen. 



Setzen wir in die Formel § 4, (19) x = 1, also y = i, so ergibt sich 



die Formel 



i 



,.. / aresin x , 3t , 



(4) / dx = - log 2 ; 



-1 



denn man hat offenbar 



aii + dl(— i) - -^; 



aus (4) findet man nun weiter durch partielle Integration und die darauf 

 folgende Transformation x = cos y die in § 5, (8) gegebene Eul ersehe Formel 



1) Comptes rendus. Bd. 64, p. 1139; 1867. 



2 ) Memoires de l'Academie de Saint- Petersbourg (7). Bd. 31, Nr. 3 (51 S.), p. 1; 1883. 



3) 1. c. p. 1. 



4 ) Man vergleiche die beiden soeben zitierten Arbeiten von Catalan. 



