[i9] Der Eulersche Dilogarithmus. 169 



aus und erhalten dann durch Multiplikation, indem wir in der Cauchyschen 

 Produktreihe den zur Potenz x r gehörigen Koeffizienten aufsuchen, die 

 Identität 



(n — p + r — 1\ -^S , ,. ( p\ [n-\-r — m — \ 



(ii) J = 2j (— l ) m 



' m = \ . \ 



Bedeuten nun n und l positive ganze Zahlen, so dafs <; 1<L r — 1 ist, 

 und setzt man in (11) p — n + 1, so enthält das Produkt 



(1 +x)~ n (1 +x) n + l = (1 +x) 1 



nach der Binomialformel entwickelt, überhaupt keine rte Potenz von x, und 

 somit ergibt sich die neue Identität 



(12) o=|;(-i) S ( w + ? )(^';;-;- 1 ), o £ i £r -i. 



Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir nunmehr die folgende 

 Verallgemeinerung der Gleichung (9) 



_^£rV Jn + r — s—l\ 

 JLn ' r ~ ^d s i l r ) *« + '—' 



oder durch Anwendung der Formel (11) und nach einfachen Reduktionen 



V< , ,. fn 4- r — in — 1\ a m -%^ a s 

 (13) A n , r = > (— 1 )™ — • V - • y n+r - m -, ; 



m = x ' s=u 



nun ist aber wegen (9) 



s = n — m — 1 s = re — m + r— 1 



i * Pn + r — m — s ^n + r — in ~ «—J ~T Vn + * — wi — s: 



s = s = n — m 



oder, indem man in die Summe rechter Hand s = n — m + q einführt, 



: n — 71 



V 



s = n — m — 1 q = r — 1 



■ Vn + i — m — s ^n-f) — vi & • - ^ . im" 2//* — <7 - 



^ s ! - ffl5 ^ (w — m-\- q)\ 



Führt man demnach diesen Ausdruck in (13) ein, so wird der zu y,.- q 

 gehörige Koeffizient gleich 



_a^_ _ ^ /« + 2\ /« + r — m — 1 



(w + 2)! -«d \ m / \ r — m 



dieser Ausdruck verschwindet aber wegen (12), weil <^ q <j r — 1 ist, und 

 somit haben wir den zweiten Hilfssatz bewiesen: 



Nora Acta XC. Nr. 3. 22 



