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IL Bedeutet r eine ganze nicht negative Zahl, so ergibt 

 sich aus dem Gleichungsysteme (9) diese allgemeinere Identität: 



'~^£T a s (n + r — s — 1\ "^ ( — \) m a m (n + r — m — 1\ 



^ J ^^ s V r I -*■■ ml V r — m / 



Wir haben noch hier die für die wte Potenz des Hauptwertes der 

 Funktion log (1 — x) erhaltene Potenzreihe zu erwähnen, indem n eine positive 

 ganze Zahl bedeutet. Sind (f n die Fakultätenkoeffizienten erster Art, d. h. 

 diejenige durch die Identität 



x(x+ 1) . . . (x + n — 1) = C°x n + CnX"- 1 + . . . + Clx n ~p -f . . . C'"" 1 x 



definierten positiven ganzen Zahlen, so hat man bekanntlich 1 ) für |x|^l 

 sondern x=^=l die Potenzreihe: 



(-1)" *^° C\ 



:- log"(l— x) =2j t~ ± ^-x« + '. 



Wir setzen nun allgemein 



(15) <Op n 



Q«-P 



n 



so dafs m vn die Summe der ( n ] möglichen Produkte aus je^j — 1 und p—1 

 verschiedene Faktoren ausgewählt unter den Zahlen 



lil l 



1' 2' 3' "•' n — V 

 bezeichnet; man hat daher z. B. 



,11 1 1 



(16) a»i,„ = 1, OOt.n = T + ö + ■ • • H T' ro »," ~ 



1 2, n — 1 



(» — !)! 



Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir dann die Potenzreihen- 



entwicklung; 



r_n» s ^? m 



X" + s . 



(17) tliT !(!_*)= V£^± 



s = O 



') Man vgl. z.B. Schlömilch: Compendium der höheren Analysis. Bd. II, p. 13. 



