[51] Der Eulersche Dilogarithmus. 171 



§ 11. Elementare Verallgemeinerungen des Dilogarithmus. 



Die elementare 1 ) Verallgemeinerung der Funktion älx ist nicht ein- 

 deutig bestimmt, sondern kann von verschiedenen Gesichtspunkten aus 

 gebildet werden. 



Geht man von der Potenzreihe § 1, (2) aus, so bietet sich die 

 folgende Funktion 



(1) Sn {x) Jv^! = __?zL . /W- 2 * log (i-**) dt 



dar; denn man hat offenbar 



(2) & 2 (x) = dl x, S t (x) = — log (1 — x) ; 



die in (1) eingeführte Potenzreihe hat den Konvergenzradius 1 und ist für n>l 

 überall auf der Peripherie des Konvergenzkreises unbedingt konvergent. 



Geht man aber andererseits von der Integraldefinition § 1, (1) aus, 

 so wird man natürlich zu der Funktion 



» 



(3) *.„<» = *=f • Z 10 ^ 1 ^ äx = £ ^ • ,-" 



geführt. 



Eine selbst sehr oberflächliche Untersuchung dieser beiden Funktionen, 

 die übrigens miteinander sehr nahe verwandt sind, zeigt indessen deutlich, 

 dafs diese beiden Funktionen nur als die beiden extremen Spezialfälle einer 

 viel allgemeineren Funktionengattung anzusehen sind, nämlich der Funktionen: 



(4) b n , p (x) — (n_iy.pi ' J ^ Q, + s )n + i 



{l ~ tx) dt = V a '-'+' . *,* + < 



wo die Potenzreihe ebenfalls den Konvergenzradius 1 hat. 

 Es ist nämlich dann wegen § 10, (16) 



(5) S„_i, 1 (x) = S B {x). 



*) Unter elementare Verallgemeinerungen verstehe ich solche Funktionen, die keine 

 neue Variable enthalten; sonst würde man auf Verallgemeinerungen der Zetafunktion geführt. 



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