174 Niels Nielsen, [54] 



woraus 



(21) ö„ = (1— -öjzij s »> n > !» ö i = lo S 2 



und wegen der Formel (18) 



(22) Sj,„_i = 



5 = 



i =_oo 



■^ P>n— 1, n+s — 1 

 (« + S — 1)2 



Endlich haben wir noch den Zahlenwert 



>. 1 1 



o ,t\ ^K.^ m P, P + s * 



(23) a+, = 8,,,® = 2ä (7+T^TT • gi+i 

 und speziell 



P =_<x> 



(24) a n = S„ (i) = ^ ( 



zu untersuchen. 



§ 12. Natur der singulären Stellen. 



Aus den Definitionen §11, (4) und (8) geht deutlich hervor, dafs 

 die Funktionen, deren Hauptwerte S n , p (x), L„ iP (x) und M ntP (x) sind, sämt- 

 lich in der ganzen unendlichen x- Ebene, aufser in den drei isolierten Punkten, 

 x = 0, x = 1 und x = oo analytisch sind , während die Hauptwerte der 

 Funktionen 8„ (x) und L lt p (x) = S lt p (x) sich auch in x = regulär 

 verhalten. 



Was die singulare Stelle x = für L n% p (x), n > 1, betrifft, so ergibt 

 sich unmittelbar aus § 11, (11), weil der Hauptwert S, hP (x) ja in x = 

 analytisch ist, die Umlaufsrelation 



S> (0) L,„ p (*) = V ' ( - 1)r(l0g : + 2 ^ jr . S B _ r , , (*) ; 



r = 



wendet man nun auf die Glieder rechter Hand die Binomialformel an, so 

 wird der zur Potenz (2jti) r gehörige Koeffizient 



—^T~ ' 2* ~~^~ ~ ' S »- r - 1, P W = —ZI Ln-r,p (X) , 



woraus die recht einfachen Umlaufsrelationen 



(1) £ (0) L n , p (x) = V (- 1 ) r j 2 ^ 0_ r . in _ rj ? (a;) > 



