[55] Der Eulersche Dilogarithmus. 175 



(2) 3 (0) £„, , (*) = 2 ^p- r • i«-r, , CK) 



r = ü 



unmittelbar gebildet werden können. 



Um die Natur der Stelle x = 1 untersuchen zu können, gehen wir 

 von dem aus § 11, (8) gebildeten unbestimmten Integrale 



*-(*) = ^WT- P^'^'V-^ äx + C 

 (n — l)!p! / x 



aus; setzt man demnach 1 — x anstatt x, so erhält man durch partielle 

 Integration die Fundamentalformel 



L n , p {\— x) + L p , n (x) = s, hp — ~; ; logPx log»(l — x); 



denn die Integrationskonstante läfst sich durch eine der Annahmen x = 

 oder x = 1 bestimmen; hieraus folgert man daher unmittelbar die numerische 

 Gleichung § 11, (18); für n = 1 erhält man wegen § 11, (11) die spezielle 

 Formel 



(4) &, „ (1—*) = s n+1 + ( —^f- log » x log (1 —x) — X, " ^ , g • Sn- P+i (x) . 



p = *' 



Läfst man nun in (3) sc einen positiven Umlauf um x = machen, 

 so wird 1 — x den Punkt x = 1 ebenfalls in positiver Richtung umlaufen, 

 und wir erhalten daher wegen (1) 



®(p)L HlP (l-x) = s H , p - K ' (logg + 2*1)' log „(1— x) _ %^ l JJ L. i;) _ ; . n( . r) . 



nun wird aber der zur Potenz (2jci) r gehörige Koeffizient 



> log P- r Xl0g"(l — X) — ^—L ■ L p _ ri n (X) 



n\ pl \r J r\ 



wegen (3) dem folgenden Ausdruck 



i U-'n.n—t. (1 %) Sn,;i— »■] 



r\ 

 gleich. Setzt man daher noch 1 — x statt x, so entfliefst die Umlaufsrelation 



r %?^~ l { — \Y {2 jtiY 

 (5) S) (1) L„, p (x) = >^ -LI L . Lnp _ r (a .) _ KntP , 



r = 



wo der Kürze halber 



