176 Niels Nielsen, [56] 



K - = V ' (" -l) r (8 »0- . s 

 (6) Ä n-;) — ^ r , s„ >p _,. 



r = 1 



gesetzt worden ist. 



Der entsprechende Funktionenwert 3 (1) L„ p ix) wird aus (5) gebildet, 

 indem man einfacherweise rechter Hand das Zeichen von 2xi wechselt, 



Die Natur der Singularität x = + 1 für die Funktionen 8„ if (x) läfst 

 sich demnach unmittelbar bestimmen, indem man in der Identität § 11, (11) 

 x den Punkt + 1 umkreisen läfst; dadurch erhält man wegen (5) 



■n — 1. r=p— 1. 



1 's _ V* i 



s! -*"^ r! 



s = ' r = 1 



und der zur Potenz (2.T?') r gehörige Koeffizient wird 



(,-L'n-s, p—r \ x ) s n— s, p—r) = 7^ '"tu, 7/ (*) ~j " j 



.s = Cl ' s= ' 



die gesuchte Umlaufsrelation wird daher 



( 7) S> (1) fl^ W = V^l^M! • fl^,W + 2^ • *-•- 



r = ' r = ' 



hier mufs jedoch jj>1 angenommen werden; denn der Zahlenwert K H<1 hat 

 der Definition (6) zufolge keine Bedeutung. 



Man erhält aber aus (3) unter Anwendung der Identität § 11, (11), 

 wenn man in diese Formel 1— x anstatt x einführt: 



J: ^r 1 loff«ü— x) q ^^ 1 (—l) n +p-s 



S„, p (1-X) = V -A±_A {Sn _ qii _ Lpn _ q{x)) _^ ( > . l0g p x log-a-SB), 



J = *" q = V ^ D- 1 ■ l- 



woraus nach einer einfachen Reduktion 



'^r^loK'd — x) ( — 1V+/' 



(8) S„, p {l—x)=2d , 1 (*—i,p ~ L P, »-a fr)) — - , , iog 2 '* log"(l-a;), 



9 = 0-'' '"' 



woraus speziell für p = 1, indem man noch n — 1 anstatt n einführt 



(9) S„ (1—x) = 2 - g ' (1 ~ a;) (s„_, - ft, „_ ? _x (*)) - |=^ log x log -i (1-aO ; 



da nun die Hauptwerte S Ur (x) sich in a: = regulär verhalten, so hat man 

 die einfache Umlaufsrelation 



